Номер 6, страница 436, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §59 - номер 6, страница 436.

Условие.

6. В чем суть метода введения новых переменных при решении системы двух уравнений с двумя переменными?

Решение 6.

Суть метода введения новых переменных заключается в замене некоторых повторяющихся или сложных выражений, содержащих исходные переменные (например, $x$ и $y$), новыми, более простыми переменными (например, $a$ и $b$). Эта замена позволяет преобразовать исходную, часто громоздкую, систему уравнений в более простую систему относительно новых переменных. Решив эту новую, упрощенную систему, мы затем возвращаемся к исходным переменным, чтобы найти окончательное решение.

Цель метода — свести сложную задачу к последовательности более простых задач.

Алгоритм решения системы уравнений методом введения новых переменных:

1. Анализ системы. Внимательно изучить оба уравнения системы и найти в них одинаковые или структурно похожие выражения. Это могут быть суммы ($x+y$), произведения ($xy$), частные ($\frac{x}{y}$), степени ($x^2+y^2$) и другие комбинации исходных переменных.

2. Введение новых переменных. Обозначить найденные выражения новыми переменными. Например, пусть $a = f(x, y)$ и $b = g(x, y)$.

3. Составление новой системы. Записать исходную систему уравнений, используя новые переменные. Полученная система, как правило, оказывается значительно проще (например, линейной или простой квадратной).

4. Решение новой системы. Решить полученную систему относительно новых переменных ($a$ и $b$) любым известным способом (метод подстановки, метод сложения и т.д.).

5. Обратная замена. Подставить найденные значения новых переменных ($a$ и $b$) обратно в равенства, которые их определяли. В результате получится одна или несколько более простых систем уравнений относительно исходных переменных $x$ и $y$.

6. Решение итоговых систем. Решить полученные системы и найти значения исходных переменных $x$ и $y$.

7. Запись ответа. Записать все найденные пары $(x, y)$ в качестве решения исходной системы.

Пример:

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x+y+xy = 11 \\ (x+y)xy = 30 \end{cases} $$

1. Анализ и введение новых переменных.

Заметим, что в обоих уравнениях присутствуют выражения $x+y$ и $xy$. Введем новые переменные:

Пусть $a = x+y$ и $b = xy$.

2. Составление и решение новой системы.

Перепишем исходную систему с новыми переменными:

$$ \begin{cases} a + b = 11 \\ ab = 30 \end{cases} $$

Эта система легко решается. По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 11t + 30 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 5$, $t_2 = 6$.

Следовательно, мы имеем два возможных случая для пар $(a, b):$

• Случай 1: $a = 5$, $b = 6$

• Случай 2: $a = 6$, $b = 5$

3. Обратная замена и решение итоговых систем.

Теперь для каждого случая вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Случай 1: $a = 5$, $b = 6$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $$

Снова по теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — это корни уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$.

Корни: $z_1 = 2$, $z_2 = 3$.

Это дает нам две пары решений: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 2: $a = 6$, $b = 5$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = 6 \\ xy = 5 \end{cases} $$

$x$ и $y$ — это корни уравнения $z^2 - 6z + 5 = 0$.

Корни: $z_1 = 1$, $z_2 = 5$.

Это дает нам еще две пары решений: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Ответ: Суть метода введения новых переменных при решении систем уравнений заключается в упрощении исходной системы путем замены сложных или повторяющихся выражений на новые, более простые переменные. Это позволяет свести задачу к решению более простой системы, после чего выполняется обратная замена для нахождения исходных неизвестных. В приведенном примере решениями являются пары чисел: $(2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1)$.