Номер 3, страница 443, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 10 - номер 3, страница 443.

Условие.

3. Уравнения и неравенства с модулями.

Решение 6.

2. Применение свойств функций для решения уравнений (неравенств).

Для решения некоторых уравнений и неравенств, которые трудно или невозможно решить стандартными алгебраическими методами, эффективно применяются свойства функций. Этот подход часто позволяет найти решение быстрее или доказать его единственность/отсутствие.

Основные используемые свойства:

• Монотонность

  Функция называется строго монотонной на некотором промежутке, если она на нем только возрастает или только убывает.

  - Если функция $f(x)$ строго монотонна на своей области определения, то уравнение $f(x) = C$ (где $C$ – константа) имеет не более одного корня. Если корень удается подобрать, то он будет единственным.
  Пример: Решить уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{x+3} = 3$.
  Функция $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x+3}$ является суммой двух возрастающих функций, следовательно, она возрастает на своей области определения $x \ge 0$. Значит, уравнение $f(x) = 3$ имеет не более одного корня. Подбором находим, что $x=1$ является корнем: $\sqrt{1} + \sqrt{1+3} = 1+2 = 3$. Таким образом, $x=1$ – единственное решение.

  - Если на некотором промежутке функция $f(x)$ возрастает, а функция $g(x)$ убывает, то уравнение $f(x)=g(x)$ имеет не более одного корня.
  Пример: Решить уравнение $2^x = 3-x$.
  Функция $f(x) = 2^x$ возрастающая, а функция $g(x) = 3-x$ убывающая. Уравнение имеет не более одного корня. Легко видеть, что $x=1$ является решением ($2^1 = 3-1$). Следовательно, это единственный корень.

• Ограниченность

  Если для уравнения $f(x) = g(x)$ удается показать, что для всех $x$ из области определения $f(x) \ge A$ и $g(x) \le A$ для некоторого числа $A$, то равенство возможно тогда и только тогда, когда $f(x)$ и $g(x)$ одновременно равны $A$. То есть, уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases} $$ Пример: Решить уравнение $\cos(2x) = x^2+1$.
  Оценим левую и правую части. Известно, что $\cos(2x) \le 1$ для любого $x$. В то же время, $x^2 \ge 0$, поэтому $x^2+1 \ge 1$.
  Равенство $\cos(2x) = x^2+1$ возможно лишь в том случае, когда обе части равны 1. $$ \begin{cases} \cos(2x) = 1 \\ x^2+1 = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения системы находим $x^2=0$, откуда $x=0$. Подставляем это значение в первое уравнение: $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$. Равенство верное. Значит, $x=0$ – единственное решение.

• Использование области определения функции (ОДЗ)

  Иногда область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении или неравенстве оказывается пустым множеством или состоит из одного или нескольких чисел. В таких случаях достаточно проверить эти числа подстановкой.
  Пример: Решить уравнение $\sqrt{x-5} + \sqrt{2-x} = x^2$.
  Найдем ОДЗ. Для существования корней должны выполняться условия: $$ \begin{cases} x-5 \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 2 \end{cases} $$ Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно больше или равно 5 и меньше или равно 2. ОДЗ – пустое множество, следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: Применение свойств функций (монотонность, ограниченность, область определения) является мощным методом решения нестандартных уравнений и неравенств, который позволяет либо найти единственный корень (например, методом подбора с последующим доказательством единственности), либо доказать отсутствие решений, либо свести сложную задачу к более простой.

3. Уравнения и неравенства с модулями.

Уравнения и неравенства с модулем (абсолютной величиной) решаются несколькими основными методами, выбор которых зависит от вида самого выражения.

Основные методы решения:

1. Раскрытие модуля по определению (метод интервалов)

   Этот универсальный метод основан на определении модуля: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.
   Алгоритм:

   1. Найти все значения переменной, при которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль.
   2. Отметить эти значения на числовой прямой, которая разобьется на интервалы.
   3. На каждом интервале определить знаки подмодульных выражений и раскрыть модули в соответствии с этими знаками.
   4. Решить полученное на каждом интервале уравнение или неравенство.
   5. Проверить, принадлежат ли найденные решения рассматриваемому интервалу.
   6. Объединить все решения, удовлетворяющие своим интервалам.

   Пример: Решить уравнение $|x+2| - |x-3| = 1$.
   Нули подмодульных выражений: $x=-2$ и $x=3$. Они разбивают числовую прямую на три промежутка.
   1) При $x < -2$: оба модуля раскрываются со знаком "минус". $-(x+2) - (-(x-3)) = 1 \Rightarrow -x-2+x-3=1 \Rightarrow -5=1$. Решений нет.
   2) При $-2 \le x < 3$: первый модуль раскрывается с "плюсом", второй – с "минусом". $(x+2) - (-(x-3)) = 1 \Rightarrow x+2+x-3=1 \Rightarrow 2x-1=1 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1$. Значение $x=1$ принадлежит промежутку $[-2, 3)$, значит, это корень.
   3) При $x \ge 3$: оба модуля раскрываются с "плюсом". $(x+2) - (x-3) = 1 \Rightarrow x+2-x+3=1 \Rightarrow 5=1$. Решений нет.
   Единственный корень уравнения – $x=1$.

2. Использование равносильных переходов (формулы)

   Для уравнений и неравенств стандартного вида удобно использовать готовые схемы равносильных преобразований.

   • $|f(x)| = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = g(x) \text{ или } f(x) = -g(x) \end{cases}$
   • $|f(x)| < g(x) \Leftrightarrow -g(x) < f(x) < g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$
   • $|f(x)| > g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) \text{ или } f(x) < -g(x)$
   • $|f(x)| = |g(x)| \Leftrightarrow f(x) = g(x) \text{ или } f(x) = -g(x)$ (или возведением в квадрат: $f^2(x) = g^2(x)$)

   Пример: Решить неравенство $|2x-5| < 3$.
   Используем схему $|f(x)| < g(x)$: $-3 < 2x-5 < 3$.
   Прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства: $-3+5 < 2x < 3+5 \Rightarrow 2 < 2x < 8$.
   Разделим все части на 2: $1 < x < 4$. Решение: $x \in (1, 4)$.

3. Геометрический смысл модуля

   Выражение $|x-a|$ можно интерпретировать как расстояние на числовой прямой между точками с координатами $x$ и $a$.
   Пример: Решить уравнение $|x-1| + |x-7| = 6$.
   Геометрически это означает: сумма расстояний от точки $x$ до точек 1 и 7 равна 6. Расстояние между точками 1 и 7 само по себе равно $|7-1|=6$. Это возможно только в том случае, если точка $x$ лежит на отрезке между 1 и 7.
   Следовательно, решение – любой $x$ из отрезка $[1, 7]$.

4. Метод замены переменной

   Если в уравнении или неравенстве модуль от одного и того же выражения встречается несколько раз, удобно ввести замену.
   Пример: Решить уравнение $x^2 - 6|x| + 5 = 0$.
   Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде $|x|^2 - 6|x| + 5 = 0$.
   Пусть $t = |x|$, при этом $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение $t^2 - 6t + 5 = 0$.
   Его корни (по теореме Виета) $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
   Возвращаемся к исходной переменной:
   1) $|x| = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$.
   2) $|x| = 5 \Rightarrow x_3 = 5, x_4 = -5$.
   В итоге получаем четыре корня: $\{-5, -1, 1, 5\}$.

Ответ: Основные методы решения уравнений и неравенств с модулями — это раскрытие модуля по определению (метод интервалов), использование стандартных равносильных преобразований, применение геометрического смысла модуля и метод замены переменной. Выбор метода зависит от структуры задачи.