Номер 7, страница 443, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 10 - номер 7, страница 443.

Условие.

7. Геометрические подходы к исследованию решений уравнений и систем уравнений.

Решение 6.

Геометрические подходы к исследованию решений уравнений и систем уравнений основаны на идее представления алгебраических выражений в виде геометрических объектов (точек, линий, кривых, поверхностей) и интерпретации алгебраических операций в терминах геометрических отношений (пересечение, касание, расстояние и т.д.). Этот метод позволяет наглядно представить задачу, определить количество решений, оценить их значения и, в некоторых случаях, найти точные решения.

Графический метод решения уравнений

Для решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ можно использовать следующий графический подход:
1. В одной системе координат строятся графики двух функций: $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
2. Находятся точки пересечения этих графиков.
3. Абсциссы (координаты $x$) этих точек пересечения являются корнями исходного уравнения. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения.

Пример. Решить уравнение $\sqrt{x} = \frac{8}{x}$.
Рассмотрим две функции: $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{8}{x}$.
- График $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти.
- График $y = \frac{8}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей четвертях. Поскольку область определения уравнения $x > 0$, нас интересует только ветвь в первой четверти.
Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Чтобы найти ее координаты, нужно решить систему:
$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = \frac{8}{x} \end{cases} $
Приравнивая правые части, получаем: $\sqrt{x} = \frac{8}{x}$.
Возведем обе части в квадрат (учитывая, что $x > 0$): $x = \frac{64}{x^2}$.
Отсюда $x^3 = 64$, что дает $x = 4$.
Графический метод позволяет нам быть уверенными, что это единственное решение.

Ответ: Корень уравнения — это абсцисса точки пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Для уравнения $\sqrt{x} = \frac{8}{x}$ решением является $x=4$.

Геометрическая интерпретация систем уравнений

Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными $ \begin{cases} F(x, y) = 0 \\ G(x, y) = 0 \end{cases} $ геометрически означает нахождение координат общих точек двух кривых, заданных этими уравнениями на плоскости $Oxy$. Каждая пара $(x_0, y_0)$, являющаяся решением системы, соответствует точке пересечения этих кривых.

Пример. Исследовать количество решений системы уравнений в зависимости от радиуса $R$: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = R^2 \\ y = x^2 - 6 \end{cases} $
Первое уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом $R > 0$.
Второе уравнение задает параболу с вершиной в точке $(0, -6)$ и ветвями, направленными вверх.
Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и параболы.
1. Если окружность не пересекает параболу (например, при очень маленьком $R$), решений нет.
2. В некоторый момент окружность коснется вершины параболы в точке $(0, -6)$. Это произойдет, когда радиус будет равен расстоянию от центра $(0,0)$ до вершины, т.е. $R = 6$. В этом случае будет одно решение $(0, -6)$. Но это неверно, так как $y=-6$, а $x^2 + (-6)^2 = R^2 \implies x^2+36=R^2$. Подставим $y=x^2-6$ в первое уравнение: $y+6+y^2=R^2 \implies y^2+y+(6-R^2)=0$. Это квадратное уравнение относительно $y$. Для того чтобы было решение, дискриминант $D = 1 - 4(6-R^2) = 4R^2-23$ должен быть неотрицательным. То есть $4R^2 \ge 23 \implies R^2 \ge 23/4 \implies R \ge \frac{\sqrt{23}}{2}$.
- При $R < \frac{\sqrt{23}}{2}$, решений нет.
- При $R = \frac{\sqrt{23}}{2}$, $D=0$, одно значение для $y$. $y = -1/2$. Тогда $x^2 = y+6 = 5.5 = 11/2$, откуда $x = \pm \sqrt{11/2}$. Два решения (симметричные точки касания).
- При $\frac{\sqrt{23}}{2} < R < \sqrt{37}$, $D>0$, два различных значения для $y$. Верхнее значение $y$ дает два значения $x$, нижнее тоже. Но надо проверить, что $y+6 \ge 0$, то есть $y \ge -6$. Оба корня $y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4R^2-23}}{2}$ больше -6. Таким образом, будет 4 решения.
- При $R = \sqrt{37}$ (найдено из $y^2+y-31=0$), одно из решений для $y$ дает $x=0$. Получаем 3 решения.
- При $R > \sqrt{37}$, будет 2 решения.
Таким образом, графический анализ позволяет понять характер расположения кривых и количество решений.

Ответ: Решения системы уравнений — это координаты точек пересечения их графиков. Количество решений зависит от взаимного расположения этих графиков.

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Геометрический подход особенно эффективен при решении задач с параметрами. В этом случае параметр рассматривается как переменная, влияющая на положение или форму графика. Задача сводится к анализу взаимного расположения семейства кривых (зависящих от параметра) и некоторой фиксированной кривой.

Пример. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $|x^2 - 4x + 3| = a$ имеет ровно четыре корня.
Рассмотрим графики функций $y = |x^2 - 4x + 3|$ и $y = a$.
1. Построим график функции $y = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх. Корни: $x_1=1, x_2=3$. Вершина находится в точке $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Значение в вершине: $y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
2. Чтобы построить график $y = |x^2 - 4x + 3|$, нужно часть параболы, лежащую ниже оси $Ox$ (между корнями $x=1$ и $x=3$), симметрично отразить относительно этой оси. Вершина $(2, -1)$ перейдет в точку $(2, 1)$.
3. График функции $y=a$ — это горизонтальная прямая.
4. Теперь проанализируем количество точек пересечения прямой $y=a$ с графиком $y = |x^2 - 4x + 3|$ в зависимости от $a$:
- Если $a < 0$, пересечений нет (0 корней).
- Если $a = 0$, прямая совпадает с осью $Ox$, есть две точки пересечения $(1,0)$ и $(3,0)$ (2 корня).
- Если $0 < a < 1$, прямая пересекает график в четырех точках (4 корня).
- Если $a = 1$, прямая касается отраженной вершины в точке $(2,1)$ и пересекает "ветви" параболы еще в двух точках (3 корня).
- Если $a > 1$, прямая пересекает график в двух точках (2 корня).
Нас интересует случай, когда уравнение имеет ровно четыре корня. Это происходит при $0 < a < 1$.

Ответ: Уравнение имеет четыре корня при $a \in (0, 1)$.

Использование векторов и расстояний

Некоторые уравнения и системы можно интерпретировать в терминах расстояний между точками или свойств векторов.

Пример. Решить уравнение $\sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 + y^2 - 8x - 6y + 25} = 4$.
Преобразуем выражения под корнями, выделив полные квадраты:
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + \sqrt{(x-4)^2 + (y-3)^2} = 4$.
Выражение $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ — это формула расстояния между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
Пусть у нас есть точка $M(x, y)$, точка $A(1, 0)$ и точка $B(4, 3)$.
Тогда уравнение можно записать как $MA + MB = 4$, где $MA$ — расстояние от $M$ до $A$, а $MB$ — расстояние от $M$ до $B$.
Найдем расстояние между точками $A$ и $B$:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
Поскольку $3\sqrt{2} \approx 3 \cdot 1.414 = 4.24 > 4$, то $AB > 4$.
Мы получили уравнение $MA + MB = 4$, при этом расстояние между "фокусами" $AB = 3\sqrt{2} > 4$.
Из неравенства треугольника для треугольника $AMB$ следует, что $MA + MB \ge AB$.
В нашем случае получается $4 \ge 3\sqrt{2}$, что неверно.
Это означает, что не существует такой точки $M$, для которой выполнялось бы это равенство. Следовательно, уравнение не имеет решений.
(Если бы получилось, например, $MA+MB=5$, то $5 > 3\sqrt{2}$ и решением был бы эллипс с фокусами в A и B. Если бы $MA+MB = 3\sqrt{2}$, то решением был бы отрезок AB).

Ответ: Уравнение не имеет решений, так как оно противоречит неравенству треугольника.