Номер 1.1, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 1. Числовые функции. §1. Определение числовой функции и способы её задания - номер 1.1, страница 4.

Условие.

1.1 Из заданного соотношения выразите переменную $y$ через переменную $x$:

а) $3x + 4y = 12;$

б) $2xy + y = -7;$

в) $6y - 5x + 1 = 0;$

г) $\frac{9}{xy} - 4 = 3x.$

Будет ли полученное соотношение задавать функцию?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Дано соотношение $3x + 4y = 12$.
Чтобы выразить переменную $y$, сначала изолируем слагаемое $4y$, перенеся $3x$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$4y = 12 - 3x$
Теперь разделим обе части уравнения на 4:
$y = \frac{12 - 3x}{4}$
Упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель:
$y = \frac{12}{4} - \frac{3x}{4} = 3 - \frac{3}{4}x$
Ответ: $y = 3 - \frac{3}{4}x$.

б) Дано соотношение $2xy + y = -7$.
В левой части уравнения вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(2x + 1) = -7$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на выражение в скобках $(2x + 1)$. Это возможно при условии, что $2x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1/2$.
$y = \frac{-7}{2x + 1}$
Ответ: $y = -\frac{7}{2x + 1}$.

в) Дано соотношение $6y - 5x + 1 = 0$.
Изолируем слагаемое с $y$ в левой части, перенеся остальные слагаемые в правую часть с противоположными знаками:
$6y = 5x - 1$
Разделим обе части уравнения на 6:
$y = \frac{5x - 1}{6}$
Это выражение можно также записать в виде:
$y = \frac{5}{6}x - \frac{1}{6}$
Ответ: $y = \frac{5}{6}x - \frac{1}{6}$.

г) Дано соотношение $\frac{9}{xy} - 4 = 3x$.
Область допустимых значений переменных: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.
Сначала перенесем -4 в правую часть уравнения:
$\frac{9}{xy} = 3x + 4$
Чтобы выразить $y$, сначала выразим произведение $xy$. Для этого умножим обе части уравнения на $xy$ (это действие корректно, так как мы уже учли, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$):
$9 = (3x + 4)xy$
Теперь, чтобы найти $y$, разделим обе части на $x(3x + 4)$. Это возможно при условии, что $x \neq 0$ и $3x+4 \neq 0$ (т.е. $x \neq -4/3$).
$y = \frac{9}{x(3x + 4)}$
Ответ: $y = \frac{9}{x(3x + 4)}$.

Будет ли полученное соотношение задавать функцию?
Да, во всех четырёх случаях полученное соотношение задает функцию. Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (в данном случае $x$) из некоторого множества (области определения) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной ($y$). В каждом из полученных уравнений для любого допустимого значения $x$ мы получаем ровно одно значение $y$.