Номер 1.5, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§1. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 1.5, страница 4.

1.5 а) $y = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}};

В) $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$;

Г) $y = \sqrt{\frac{3}{49 - x^2}}$.

а) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 3x + 2 \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 3x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значит, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения при $x$, находящихся левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

---

б) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}}$ задается двумя условиями: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным ($x^2 - 4 \ge 0$), и знаменатель дроби не должен быть равен нулю ($\sqrt{x^2 - 4} \ne 0$). Объединив эти два условия, получаем одно строгое неравенство:

$x^2 - 4 > 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$x^2 > 4$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x > 2$ или $x < -2$.

Следовательно, область определения функции есть объединение двух интервалов: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

---

в) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$ задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 + 4x - 12 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$

Парабола $f(x) = x^2 + 4x - 12$ имеет ветви, направленные вверх. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения при $x \le -6$ и при $x \ge 2$.

Область определения функции: $x \in (-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

---

г) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{3}{49 - x^2}}$ задается условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\frac{3}{49 - x^2} \ge 0$.

Так как числитель дроби (3) является положительным числом, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был также строго положительным (знаменатель не может быть равен нулю).

$49 - x^2 > 0$

Перепишем неравенство в виде:

$x^2 < 49$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-7 < x < 7$

Таким образом, область определения функции представляет собой интервал $(-7, 7)$.

Ответ: $x \in (-7, 7)$.