Номер 1.12, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 1. Числовые функции. §1. Определение числовой функции и способы её задания - номер 1.12, страница 5.

Условие.

1.12 a) $y = |x|$;

б) $y = |x - 2|$;

В) $y = -|x|$;

Г) $y = 3 - |x|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $y = |x|$

Функция $y = |x|$ называется модулем или абсолютным значением $x$. По определению модуля:

$y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это означает, что график функции состоит из двух частей:

1. Для неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$), график совпадает с прямой $y = x$. Это биссектриса первого координатного угла. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 2) и так далее.

2. Для отрицательных значений $x$ ($x < 0$), график совпадает с прямой $y = -x$. Это биссектриса второго координатного угла. Она проходит через точки (-1, 1), (-2, 2), (-3, 3) и так далее.

Соединив эти две части, мы получим график в виде "галочки" или буквы "V", вершина которой находится в начале координат (0, 0), а ветви направлены вверх.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" с вершиной в точке (0, 0), состоящую из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$.

б) $y = |x - 2|$

Этот график можно получить из графика базовой функции $y = |x|$ с помощью геометрических преобразований. Преобразование вида $f(x) \rightarrow f(x - a)$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox).

В данном случае $a = 2$, поэтому мы сдвигаем график $y = |x|$ на 2 единицы вправо. Вершина "галочки", которая была в точке (0, 0), переместится в точку (2, 0).

Альтернативно, можно раскрыть модуль:

$y = |x - 2| = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \\ -(x - 2) = 2 - x, & \text{если } x - 2 < 0 \implies x < 2 \end{cases}$

Ключевые точки для построения: вершина (2, 0); точка пересечения с осью Oy (при $x = 0$, $y = |0-2| = 2$) - (0, 2); другие точки, например (1, 1), (3, 1), (4, 2).

Ответ: График функции $y = |x - 2|$ — это "галочка", полученная сдвигом графика $y = |x|$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина графика находится в точке (2, 0).

в) $y = -|x|$

Этот график также можно получить из графика $y = |x|$. Преобразование вида $f(x) \rightarrow -f(x)$ соответствует симметричному отражению графика функции $f(x)$ относительно оси абсцисс (Ox).

Таким образом, график $y = -|x|$ является отражением графика $y = |x|$ относительно оси Ox. "Галочка", которая была направлена ветвями вверх, теперь будет направлена ветвями вниз. Вершина останется в той же точке (0, 0).

Раскрывая модуль:

$y = -|x| = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -(-x) = x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух лучей: $y = -x$ для $x \ge 0$ (биссектриса четвертого координатного угла) и $y = x$ для $x < 0$ (часть биссектрисы второго координатного угла, но лежащая в третьей четверти). Ключевые точки: (0, 0), (1, -1), (2, -2), (-1, -1), (-2, -2).

Ответ: График функции $y = -|x|$ — это "галочка", симметричная графику $y = |x|$ относительно оси Ox. Вершина находится в точке (0, 0), а ветви направлены вниз.

г) $y = 3 - |x|$

Этот график можно получить из графика $y = |x|$ в два шага. Удобнее представить функцию как $y = -|x| + 3$.

1. Сначала строим график $y = -|x|$. Как мы выяснили в пункте в), это "галочка" с вершиной в (0, 0), ветвями вниз.

2. Затем выполняем преобразование вида $f(x) \rightarrow f(x) + b$. В нашем случае это $y = (-|x|) + 3$. Это соответствует сдвигу графика $y = -|x|$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy).

Таким образом, вершина графика, которая была в точке (0, 0) для $y = -|x|$, переместится в точку (0, 3). Ветви по-прежнему будут направлены вниз.

Раскрывая модуль:

$y = 3 - |x| = \begin{cases} 3 - x, & \text{если } x \ge 0 \\ 3 - (-x) = 3 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ключевые точки: вершина (0, 3); точки пересечения с осью Ox (при $y = 0$, $3 - |x| = 0 \implies |x| = 3 \implies x = \pm 3$) - это точки (-3, 0) и (3, 0).

Ответ: График функции $y = 3 - |x|$ — это "галочка" с ветвями, направленными вниз, полученная сдвигом графика $y = -|x|$ на 3 единицы вверх. Вершина графика находится в точке (0, 3).