Номер 1.10, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§1. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 1.10, страница 5.

1.10 a) $y = x^2 + 3x - 28$;

б) $y = -x^2 - 2x + 24$.

а) $y = x^2 + 3x - 28$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=3, c=-28$. Графиком является парабола. Проведем ее полный анализ.

1. Направление ветвей параболы.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$, подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 3 \cdot 0 - 28 = -28$.

Следовательно, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0; -28)$.

Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ (также называемых нулями функции), решим уравнение $y = 0$:

$x^2 + 3x - 28 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Таким образом, точки пересечения с осью $Ox$ — это $(-7; 0)$ и $(4; 0)$.

3. Координаты вершины параболы.

Абсцисса вершины $x_в$ вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.

Для нахождения ординаты вершины $y_в$, подставим значение $x_в$ в уравнение функции:

$y_в = (-1.5)^2 + 3 \cdot (-1.5) - 28 = 2.25 - 4.5 - 28 = -2.25 - 28 = -30.25$.

Координаты вершины параболы — $(-1.5; -30.25)$.

Ответ: для функции $y = x^2 + 3x - 28$: нули функции $x = -7$ и $x = 4$; координаты вершины $(-1.5; -30.25)$; точка пересечения с осью $Oy$ — $(0; -28)$; ветви параболы направлены вверх.

б) $y = -x^2 - 2x + 24$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-1, b=-2, c=24$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей параболы.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$, подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y(0) = -0^2 - 2 \cdot 0 + 24 = 24$.

Следовательно, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0; 24)$.

Для нахождения нулей функции решим уравнение $y = 0$:

$-x^2 - 2x + 24 = 0$.

Для удобства умножим все члены уравнения на $-1$:

$x^2 + 2x - 24 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$ (для нового уравнения $a=1, b=2, c=-24$):

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Точки пересечения с осью $Ox$ — это $(-6; 0)$ и $(4; 0)$.

3. Координаты вершины параболы.

Абсцисса вершины $x_в$ вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$ (используем исходные коэффициенты $a=-1, b=-2$):

$x_в = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1$.

Для нахождения ординаты вершины $y_в$, подставим $x_в = -1$ в исходное уравнение функции:

$y_в = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 24 = -1 + 2 + 24 = 25$.

Координаты вершины параболы — $(-1; 25)$.

Ответ: для функции $y = -x^2 - 2x + 24$: нули функции $x = -6$ и $x = 4$; координаты вершины $(-1; 25)$; точка пересечения с осью $Oy$ — $(0; 24)$; ветви параболы направлены вниз.