Номер 1.7, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§1. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 1.7, страница 5.

Постройте график заданной функции, найдите область определения и область значений функции:

1.7 a) $y = 2x - 3$;

б) $y = 6 - 3x$;

в) $y = \frac{x}{2} + 4$;

г) $y = -\frac{2x}{3} - 3$.

а) $y = 2x - 3$

Построение графика:
Функция $y = 2x - 3$ является линейной, её график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух её точек.
1. Найдём точку пересечения с осью OY (y-ось). Для этого подставим $x = 0$:
$y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$.
Первая точка имеет координаты $(0, -3)$.
2. Найдём точку пересечения с осью OX (x-ось). Для этого подставим $y = 0$:
$0 = 2x - 3$
$2x = 3$
$x = 1.5$.
Вторая точка имеет координаты $(1.5, 0)$.
Отмечаем точки $(0, -3)$ и $(1.5, 0)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Область определения:
Выражение $2x - 3$ определено для любого действительного значения $x$. Никаких ограничений (деление на ноль, извлечение корня из отрицательного числа) нет. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений:
Так как это линейная функция с угловым коэффициентом $k=2$, который не равен нулю, функция может принимать любое действительное значение. Следовательно, область значений функции — это множество всех действительных чисел.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: График функции — прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(1.5, 0)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 6 - 3x$

Построение графика:
Функция $y = 6 - 3x$ является линейной, её график — прямая. Для построения прямой найдём координаты двух её точек.
1. При $x = 0$:
$y = 6 - 3 \cdot 0 = 6$.
Первая точка — $(0, 6)$.
2. При $x = 2$:
$y = 6 - 3 \cdot 2 = 6 - 6 = 0$.
Вторая точка — $(2, 0)$.
Отмечаем точки $(0, 6)$ и $(2, 0)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Область определения:
Выражение $6 - 3x$ определено для любого действительного значения $x$. Ограничений нет.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений:
Это линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом ($k=-3$). Она принимает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: График функции — прямая, проходящая через точки $(0, 6)$ и $(2, 0)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = \frac{x}{2} + 4$

Построение графика:
Функция $y = \frac{x}{2} + 4$ является линейной, её график — прямая. Найдём координаты двух точек для построения.
1. При $x = 0$:
$y = \frac{0}{2} + 4 = 4$.
Первая точка — $(0, 4)$.
2. При $x = 2$:
$y = \frac{2}{2} + 4 = 1 + 4 = 5$.
Вторая точка — $(2, 5)$.
Отмечаем точки $(0, 4)$ и $(2, 5)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Область определения:
Выражение $\frac{x}{2} + 4$ определено для любого действительного значения $x$. Ограничений нет.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений:
Это линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом ($k=\frac{1}{2}$). Она принимает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: График функции — прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(2, 5)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = -\frac{2x}{3} - 3$

Построение графика:
Функция $y = -\frac{2x}{3} - 3$ является линейной, её график — прямая. Найдём координаты двух точек. Для удобства вычислений будем выбирать значения $x$, кратные 3.
1. При $x = 0$:
$y = -\frac{2 \cdot 0}{3} - 3 = -3$.
Первая точка — $(0, -3)$.
2. При $x = 3$:
$y = -\frac{2 \cdot 3}{3} - 3 = -2 - 3 = -5$.
Вторая точка — $(3, -5)$.
Отмечаем точки $(0, -3)$ и $(3, -5)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Область определения:
Выражение $-\frac{2x}{3} - 3$ определено для любого действительного значения $x$. Ограничений нет.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений:
Это линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом ($k=-\frac{2}{3}$). Она принимает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: График функции — прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(3, -5)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.