Номер 1.6, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§1. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 1.6, страница 5.

1.6 а) $y = \sqrt{2x - 4} + \frac{2x + 3}{\sqrt{10 - 2.5x}}$;

б) $y = \sqrt{10x - 3x^2 - 3} + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 4}} - \frac{1}{25 - 4x^2}$;

в) $y = \sqrt{2x^2 - 5x + 2} + \frac{2x^2 - 4}{\sqrt{10 - 2x}};

г) $y = \sqrt{x^2 - 36} + \frac{5x + 3}{\sqrt{11x - x^2 - 10}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{x^4 - 2401}$.

Для нахождения области определения функции необходимо найти множество всех значений переменной $x$, при которых функция имеет смысл. Это означает, что все операции, входящие в определение функции (извлечение корня, деление), должны быть выполнимы.

а) $y = \sqrt{2x - 4} + \frac{2x + 3}{\sqrt{10 - 2,5x}}$

Область определения данной функции находится из системы неравенств:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $2x - 4 \geq 0$.
2. Выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку корень находится в знаменателе, значение не может быть равно нулю): $10 - 2,5x > 0$.

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x - 4 \geq 0 \\ 10 - 2,5x > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства: $2x \geq 4 \implies x \geq 2$.
Из второго неравенства: $10 > 2,5x \implies \frac{10}{2,5} > x \implies 4 > x$.

Объединяя условия, получаем: $2 \leq x < 4$.

Таким образом, область определения функции — это интервал $[2, 4)$.

Ответ: $D(y) = [2, 4)$.

б) $y = \sqrt{10x - 3x^2 - 3} + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 4}} - \frac{1}{25 - 4x^2}$

Область определения данной функции находится из системы условий:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $10x - 3x^2 - 3 \geq 0$.
2. Выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x^2 - 4 > 0$.
3. Знаменатель третьей дроби не должен быть равен нулю: $25 - 4x^2 \neq 0$.

Решим каждое условие по отдельности:

1. $-3x^2 + 10x - 3 \geq 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $3x^2 - 10x + 3 \leq 0$.
Найдём корни уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$. Дискриминант $D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 = 8^2$.
Корни: $x_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{10 + 8}{6} = 3$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $3x^2 - 10x + 3 \leq 0$ выполняется между корнями: $x \in [\frac{1}{3}, 3]$.

2. $x^2 - 4 > 0 \implies (x - 2)(x + 2) > 0$.
Решением является объединение интервалов $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

3. $25 - 4x^2 \neq 0 \implies 4x^2 \neq 25 \implies x^2 \neq \frac{25}{4} \implies x \neq \pm \frac{5}{2}$.

Теперь найдём пересечение всех полученных множеств:
$x \in [\frac{1}{3}, 3] \cap ((-\infty, -2) \cup (2, \infty))$ и $x \neq \pm 2,5$.
Пересечение $[\frac{1}{3}, 3]$ с $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ даёт интервал $(2, 3]$.
Из этого интервала нужно исключить точку $x = 2,5$. Точка $x = -2,5$ не входит в этот интервал.
Получаем объединение интервалов $(2, 2,5) \cup (2,5, 3]$.

Ответ: $D(y) = (2; 2,5) \cup (2,5; 3]$.

в) $y = \sqrt{2x^2 - 5x + 2} + \frac{2x^2 - 4}{\sqrt{10 - 2x}}$

Область определения функции находится из системы неравенств:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $2x^2 - 5x + 2 \geq 0$.
2. Выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $10 - 2x > 0$.

Решим каждое неравенство:

1. $2x^2 - 5x + 2 \geq 0$. Найдём корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 = 3^2$.
Корни: $x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется вне корней: $x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, \infty)$.

2. $10 - 2x > 0 \implies 10 > 2x \implies 5 > x$.

Найдём пересечение множеств $(-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, \infty)$ и $(-\infty, 5)$.
Пересечение $(-\infty, \frac{1}{2}]$ и $(-\infty, 5)$ даёт $(-\infty, \frac{1}{2}]$.
Пересечение $[2, \infty)$ и $(-\infty, 5)$ даёт $[2, 5)$.
Объединяя результаты, получаем область определения.

Ответ: $D(y) = (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, 5)$.

г) $y = \sqrt{x^2 - 36} + \frac{5x + 3}{\sqrt{11x - x^2 - 10}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{x^4 - 2401}$

Область определения данной функции находится из системы условий:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 36 \geq 0$.
2. Выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $11x - x^2 - 10 > 0$.
3. Знаменатель третьей дроби не должен быть равен нулю: $x^4 - 2401 \neq 0$. (Кубический корень в числителе определён для любых $x$).

Решим каждое условие по отдельности:

1. $x^2 - 36 \geq 0 \implies (x-6)(x+6) \geq 0$. Решение: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

2. $-x^2 + 11x - 10 > 0$. Умножим на -1: $x^2 - 11x + 10 < 0$.
Найдём корни уравнения $x^2 - 11x + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 10$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (1, 10)$.

3. $x^4 - 2401 \neq 0 \implies x^4 \neq 2401$. Так как $2401 = 7^4$, то $x^4 \neq 7^4$.
Следовательно, $x \neq 7$ и $x \neq -7$.

Найдём пересечение всех полученных множеств:
$x \in ((-\infty, -6] \cup [6, \infty)) \cap (1, 10)$ и $x \neq \pm 7$.
Пересечение $(-\infty, -6] \cup [6, \infty)$ и $(1, 10)$ даёт интервал $[6, 10)$.
Из этого интервала нужно исключить точки $x=7$ и $x=-7$. Точка $x=-7$ не входит в интервал $[6, 10)$. Точку $x=7$ необходимо исключить.
Получаем объединение интервалов $[6, 7) \cup (7, 10)$.

Ответ: $D(y) = [6, 7) \cup (7, 10)$.