Номер 6, страница 443, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 10. ч. 1 - номер 6, страница 443.

6. Решение неравенств с помощью обобщённого метода интервалов.

Обобщённый метод интервалов — это универсальный алгоритм для решения сложных неравенств, особенно рациональных, вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$. Суть метода заключается в определении знаков функции $f(x)$ на интервалах, на которые числовая ось разбивается точками, где функция равна нулю или не существует.

Алгоритм обобщённого метода интервалов

1. Приведение к стандартному виду. Все члены неравенства переносятся в одну сторону, чтобы получить неравенство вида $f(x) \lessgtr 0$ или $f(x) \lesseqgtr 0$.

2. Нахождение области определения. Определяется область допустимых значений (ОДЗ) для функции $f(x)$. Из рассмотрения исключаются точки, где функция не определена (например, где знаменатель равен нулю, или подкоренное выражение отрицательно).

3. Нахождение нулей функции. Решается уравнение $f(x) = 0$. Его корни — это нули функции.

4. Разметка числовой оси. На числовую ось наносятся нули функции и "выколотые" точки из ОДЗ.Если неравенство строгое ($>$ или $<$), нули функции отмечаются выколотыми (пустыми) кружками (◦).Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), нули функции отмечаются закрашенными (сплошными) точками (•).Точки, не входящие в ОДЗ, всегда отмечаются выколотыми кружками (◦).

5. Определение знаков на интервалах. Числовая ось разбивается отмеченными точками на интервалы. На каждом из этих интервалов функция $f(x)$ сохраняет свой знак. Чтобы определить этот знак, можно взять любую "пробную" точку из интервала и вычислить знак $f(x)$ в этой точке. Часто используется правило чередования знаков: если корень $x_0$ (из числителя или знаменателя) имеет нечётную кратность (например, $(x-x_0)^1$, $(x-x_0)^3$), то при переходе через него знак функции меняется. Если кратность чётная (например, $(x-x_0)^2$, $(x-x_0)^4$), то знак не меняется.

6. Формирование ответа. На основе знаков на интервалах и типа неравенства выбираются подходящие промежутки. Для нестрогих неравенств в ответ также включаются закрашенные точки.

Пример решения неравенства

Решим неравенство $\frac{(x^2 - 4x + 4)(x+3)}{x(x-5)} \ge 0$.

1. Стандартный вид и упрощение.
Неравенство уже в стандартном виде $f(x) \ge 0$. Упростим числитель, применив формулу квадрата разности: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.Получаем $f(x) = \frac{(x-2)^2(x+3)}{x(x-5)}$.

2. Область определения (ОДЗ).
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \neq 0$ и $x-5 \neq 0$.Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 5) \cup (5, +\infty)$.

3. Нули функции.
Приравниваем числитель к нулю: $(x-2)^2(x+3) = 0$.Корни (нули функции): $x=2$ (кратность 2) и $x=-3$ (кратность 1).

4. Разметка числовой оси.
Наносим на ось все найденные точки в порядке возрастания: -3, 0, 2, 5.
Точки $x=-3$ и $x=2$ — нули функции. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому они закрашенные (•).
Точки $x=0$ и $x=5$ — из ОДЗ (нули знаменателя). Они всегда выколотые (◦).

Ось разбивается на интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 5)$, $(5, +\infty)$.

5. Определение знаков.
Определим знак на самом правом интервале $(5, +\infty)$, взяв $x=10$ в качестве пробной точки:
$f(10) = \frac{(10-2)^2(10+3)}{10(10-5)} = \frac{(+)^2(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
Далее движемся справа налево, меняя или сохраняя знак в зависимости от кратности корня:
- через $x=5$ (корень из $x-5$, кратность 1, нечётная) — знак меняется на "-".
- через $x=2$ (корень из $(x-2)^2$, кратность 2, чётная) — знак не меняется, остаётся "-".
- через $x=0$ (корень из $x$, кратность 1, нечётная) — знак меняется на "+".
- через $x=-3$ (корень из $x+3$, кратность 1, нечётная) — знак меняется на "-".
Итоговая расстановка знаков на оси: $(-) \ -3\ (+) \ 0\ (-) \ 2\ (-) \ 5\ (+)$.

6. Запись ответа.
Нам нужно решить неравенство $f(x) \ge 0$. Это соответствует интервалам со знаком "+" и закрашенным точкам (нулям функции).
Интервалы со знаком "+": $(-3, 0)$ и $(5, +\infty)$.
Проверяем граничные точки интервала $(-3, 0)$. Точка $x=-3$ — закрашенная ($f(-3)=0$), поэтому она входит в решение. Точка $x=0$ — выколотая, не входит. Получаем промежуток $[-3, 0)$.
Проверяем изолированную закрашенную точку $x=2$. В этой точке $f(2)=0$. Неравенство $0 \ge 0$ верно, значит, $x=2$ также является решением.
Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x \in [-3, 0) \cup \{2\} \cup (5, +\infty)$.