Номер 5, страница 436, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §59. ч. 1 - номер 5, страница 436.

5. В чем суть метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными?

Суть метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы путем преобразования уравнений и их последующего сложения или вычитания исключить (элиминировать) одну из переменных. Это позволяет свести систему двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной, которое решается значительно проще. После нахождения одной переменной, ее значение подставляют в любое из исходных уравнений для нахождения второй.

Для этого используется следующий алгоритм:

1. Уравнять модули коэффициентов при одной из переменных. Для этого обе части одного или обоих уравнений умножают на подходящие множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (например, $5y$ и $-5y$).

2. Сложить почленно левые и правые части уравнений системы. В результате этого действия одна из переменных взаимно уничтожится.

3. Решить получившееся линейное уравнение с одной переменной.

4. Подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из двух уравнений исходной системы.

5. Решить полученное уравнение и найти соответствующее значение второй переменной.

6. Записать ответ в виде пары значений $(x; y)$.

Пример:

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} $$

Чтобы исключить переменную $x$, необходимо сделать коэффициенты при ней в обоих уравнениях противоположными числами. Умножим первое уравнение на $-2$. Тогда коэффициенты при $x$ станут $-4$ и $4$.

$$ \begin{cases} -2(2x + 3y) = -2 \cdot 7 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} -4x - 6y = -14 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} $$

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений:

$$ (-4x - 6y) + (4x - 5y) = -14 + 3 $$

$$ -4x + 4x - 6y - 5y = -11 $$

$$ -11y = -11 $$

Отсюда находим $y$:

$$ y = 1 $$

Подставим найденное значение $y=1$ в первое исходное уравнение системы, чтобы найти $x$:

$$ 2x + 3(1) = 7 $$

$$ 2x + 3 = 7 $$

$$ 2x = 4 $$

$$ x = 2 $$

Решением системы является пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: Суть метода алгебраического сложения состоит в преобразовании уравнений системы с целью получить противоположные коэффициенты при одной из переменных, чтобы при последующем почленном сложении уравнений эта переменная исключилась. Это позволяет свести исходную систему к одному более простому уравнению с одной переменной.