Номер 5, страница 443, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 10. ч. 1 - номер 5, страница 443.

5. Классические неравенства о средних и их применение.

4. Иррациональные уравнения и неравенства.

Иррациональными называют уравнения или неравенства, в которых переменная находится под знаком корня (радикала). Основная идея при решении таких задач — избавиться от корня путем возведения обеих частей уравнения или неравенства в соответствующую степень.

Решение иррациональных уравнений

Основной метод решения — возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня.

• Для уравнений вида $\sqrt[2k+1]{f(x)} = g(x)$ (корень нечетной степени) можно без ограничений возводить обе части в степень $2k+1$: $f(x) = (g(x))^{2k+1}$.
• Для уравнений вида $\sqrt[2k]{f(x)} = g(x)$ (корень четной степени) возведение в степень $2k$ может привести к появлению посторонних корней. Это происходит потому, что из $A^{2k} = B^{2k}$ не следует, что $A=B$. Поэтому необходима проверка найденных корней или учет области допустимых значений (ОДЗ).

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $$ Условие $f(x) \ge 0$ здесь является избыточным, так как оно автоматически выполняется из первого уравнения системы ($f(x)$ равно квадрату, который всегда неотрицателен).

Пример. Решить уравнение $\sqrt{x+7} = x-5$.
Решение:
Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x+7 = (x-5)^2 \\ x-5 \ge 0 \end{cases} $$ Решим первое уравнение:
$x+7 = x^2 - 10x + 25$
$x^2 - 11x + 18 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 9$.
Теперь проверим выполнение второго условия системы $x-5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет этому условию ($2 < 5$), следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет этому условию ($9 \ge 5$).

Ответ: $x=9$.

Решение иррациональных неравенств

При решении неравенств с корнями четной степени также необходимо быть внимательным.

1. Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) < (g(x))^2 \\ f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $$

2. Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{array} \right. $$

Пример. Решить неравенство $\sqrt{2x+1} > x-1$.
Решение:
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
1) $\begin{cases} x-1 < 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x \ge -1/2 \end{cases} \implies x \in [-1/2, 1)$.
2) $\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ 2x+1 > (x-1)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ 2x+1 > x^2-2x+1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x^2-4x < 0 \end{cases}$.
Решим неравенство $x^2-4x < 0 \implies x(x-4) < 0 \implies x \in (0, 4)$.
Найдем пересечение решений второй системы: $\begin{cases} x \ge 1 \\ x \in (0, 4) \end{cases} \implies x \in [1, 4)$.
Объединяя решения обеих систем, получаем: $x \in [-1/2, 1) \cup [1, 4) = [-1/2, 4)$.

Ответ: $x \in [-1/2, 4)$.

5. Классические неравенства о средних и их применение.

Классические неравенства о средних устанавливают связь между различными видами средних величин для набора неотрицательных чисел. Для набора чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($a_i \ge 0$) определяются следующие средние:

• Среднее арифметическое (A): $A = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$
• Среднее геометрическое (G): $G = \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$
• Среднее гармоническое (H): $H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}}$ (для $a_i > 0$)
• Среднее квадратичное (Q): $Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{n}}$

Эти средние связаны между собой знаменитым неравенством о средних: $$ H \le G \le A \le Q $$ Равенство во всех частях неравенства достигается тогда и только тогда, когда все числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ равны между собой.

Наиболее часто используется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши): $$ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} $$ Равенство достигается при $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.

Применение неравенств о средних

Неравенства о средних являются мощным инструментом для доказательства других неравенств и для нахождения наибольших и наименьших значений выражений.

Пример 1: Доказательство неравенств.
Доказать, что для любых положительных чисел $a, b, c$ выполняется неравенство $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$.
Решение:
Применим неравенство Коши для пар чисел:
$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \implies a+b \ge 2\sqrt{ab}$
$\frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc} \implies b+c \ge 2\sqrt{bc}$
$\frac{c+a}{2} \ge \sqrt{ca} \implies c+a \ge 2\sqrt{ca}$
Поскольку все части неравенств положительны, мы можем их перемножить:
$(a+b)(b+c)(c+a) \ge (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca}) = 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc$.
Что и требовалось доказать. Равенство достигается при $a=b=c$.

Пример 2: Нахождение экстремумов.
Найти наименьшее значение функции $f(x) = 4x + \frac{9}{x}$ при $x > 0$.
Решение:
Рассмотрим два положительных слагаемых: $4x$ и $\frac{9}{x}$. По неравенству Коши для двух чисел: $$ \frac{4x + \frac{9}{x}}{2} \ge \sqrt{4x \cdot \frac{9}{x}} $$ $$ \frac{f(x)}{2} \ge \sqrt{36} = 6 $$ $$ f(x) \ge 12 $$ Таким образом, наименьшее значение функции равно 12. Это значение достигается, когда слагаемые равны:
$4x = \frac{9}{x} \implies 4x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{4} \implies x = \frac{3}{2}$ (так как $x>0$).

Пример 3: Геометрическая задача.
Из всех прямоугольников с заданным периметром $P$ найти прямоугольник с наибольшей площадью.
Решение:
Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда периметр $P = 2(a+b)$, откуда $a+b = P/2$ (константа). Площадь $S = ab$.
По неравенству Коши: $$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$ Подставим известные величины: $$ \frac{P/2}{2} \ge \sqrt{S} \implies \frac{P}{4} \ge \sqrt{S} $$ Возведя в квадрат, получаем: $S \le \frac{P^2}{16}$.
Наибольшее значение площади $S_{max} = P^2/16$ достигается при условии равенства в неравенстве Коши, то есть когда $a=b$. Это означает, что прямоугольник должен быть квадратом.

Ответ: Неравенства о средних связывают среднее гармоническое, геометрическое, арифметическое и квадратичное ($H \le G \le A \le Q$) и широко применяются для доказательства неравенств и нахождения экстремальных значений выражений.