Номер 2, страница 443, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 10 - номер 2, страница 443.

Условие.

2. Применение свойств функций для решения уравнений (неравенств).

Решение 6.

1. Диофантовы уравнения.

Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, для которого требуется найти целочисленные решения. Названы они в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. В общем виде уравнение записывается как $P(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$, где $P$ — многочлен, а решения $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ ищутся в множестве целых чисел $\mathbb{Z}$.

Наиболее простым и изученным классом являются линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными вида:
$ax + by = c$
где $a, b, c$ — заданные целые числа, а $x, y$ — неизвестные целые.

Условие существования решений: Уравнение $ax + by = c$ имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда $c$ делится нацело на наибольший общий делитель (НОД) чисел $a$ и $b$. То есть, $c \vdots \text{НОД}(a, b)$.

Алгоритм решения линейного уравнения:

1. Найти $\text{НОД}(a, b)$. Если $c$ не делится на $\text{НОД}(a, b)$, то целочисленных решений нет.
2. Если решения существуют, разделить обе части уравнения на $d = \text{НОД}(a, b)$, получив уравнение $a'x + b'y = c'$, где $a' = a/d, b' = b/d, c' = c/d$, и при этом $\text{НОД}(a', b') = 1$.
3. Найти одно частное решение $(x_0, y_0)$ для уравнения $a'x + b'y = c'$. Это можно сделать либо подбором (если коэффициенты малы), либо с помощью расширенного алгоритма Евклида.
4. Записать общее решение. Все целочисленные решения исходного уравнения описываются формулами:
   $x = x_0 + b' \cdot t = x_0 + \frac{b}{\text{НОД}(a, b)} \cdot t$
   $y = y_0 - a' \cdot t = y_0 - \frac{a}{\text{НОД}(a, b)} \cdot t$
   где $t$ — любое целое число ($t \in \mathbb{Z}$).

Пример: Решить в целых числах уравнение $6x + 9y = 21$.
1. Находим $\text{НОД}(6, 9) = 3$.
2. Так как $21$ делится на $3$, решения существуют. Делим уравнение на $3$: $2x + 3y = 7$.
3. Подбором находим частное решение. Например, если $x=2$, то $2(2) + 3y = 7 \implies 4 + 3y = 7 \implies 3y=3 \implies y=1$. Частное решение: $(x_0, y_0) = (2, 1)$.
4. Записываем общее решение. Здесь $a'=2, b'=3$:
$x = 2 + 3t$
$y = 1 - 2t$
где $t \in \mathbb{Z}$.

Для решения нелинейных диофантовых уравнений часто применяются другие методы:

• Метод разложения на множители: Преобразование уравнения к виду, где произведение выражений равно целому числу. Например, $xy - x - y = 1 \implies (x-1)(y-1) = 2$.
• Метод остатков (сравнения по модулю): Анализ уравнения по некоторому целочисленному модулю, что может доказать отсутствие решений или сузить их поиск.
• Метод оценки (ограничения): Нахождение границ для переменных, что сводит задачу к перебору конечного числа вариантов. Например, для $x^2 + y^2 = 50$, очевидно, что $|x| \le 7$ и $|y| \le 7$.

Ответ: Диофантовы уравнения — это уравнения в целых числах. Для линейных уравнений вида $ax+by=c$ существует четкий алгоритм решения, основанный на НОД коэффициентов. Для нелинейных уравнений применяются специальные методы, такие как разложение на множители, анализ по модулю и оценка переменных.

2. Применение свойств функций для решения уравнений (неравенств).

Этот метод заключается в решении уравнений и неравенств не с помощью алгебраических преобразований, а на основе анализа свойств функций, входящих в уравнение. Он особенно эффективен для нестандартных, трансцендентных уравнений. Основные используемые свойства — монотонность и ограниченность.

1. Использование монотонности.
Монотонная функция — это функция, которая либо только возрастает, либо только убывает на своей области определения.

• Если функция $f(x)$ строго монотонна, то любое значение она принимает не более одного раза. Поэтому уравнение $f(x) = C$ (где $C$ — константа) имеет не более одного корня. Если корень удается найти подбором, он будет единственным.
  Пример: Решить уравнение $\sqrt{x-1} + \sqrt{x+4} = 5$.
  Функция $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x+4}$ является строго возрастающей на своей области определения $[1; +\infty)$ как сумма двух возрастающих функций.
  Значит, уравнение $f(x)=5$ имеет не более одного корня. Легко заметить, что $x=5$ является корнем: $\sqrt{5-1} + \sqrt{5+4} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5$.
  Поскольку корень найден, а функция монотонна, других корней нет.
• Если в уравнении $f(x) = g(x)$ одна из функций, например $f(x)$, строго возрастает, а другая, $g(x)$, строго убывает, то такое уравнение также имеет не более одного корня.
  Пример: Решить уравнение $3^x = 4 - x$.
  Функция $f(x) = 3^x$ — строго возрастающая. Функция $g(x) = 4 - x$ — строго убывающая.
  Уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим $x=1$: $3^1=3$ и $4-1=3$. Равенство верное. Значит, $x=1$ — единственный корень.

2. Использование ограниченности (оценка множества значений).
Этот метод основан на том, что для уравнения $f(x) = g(x)$ равенство возможно только тогда, когда множества значений функций $E(f)$ и $E(g)$ пересекаются. Если удается показать, что $f(x) \ge A$ и $g(x) \le A$ для всех $x$ из области определения, то равенство возможно только в том случае, если $f(x) = g(x) = A$.
Пример: Решить уравнение $\cos(x) = x^2 + 1$.
Левая часть: $f(x) = \cos(x)$. Множество значений $E(f) = [-1, 1]$. Таким образом, $f(x) \le 1$.
Правая часть: $g(x) = x^2 + 1$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $g(x) \ge 1$.
Равенство $f(x)=g(x)$ возможно только если обе части равны 1.
$\left\{\begin{array}{l} \cos(x) = 1 \\ x^2 + 1 = 1 \end{array}\right.$
Из второго уравнения: $x^2 = 0 \implies x=0$.
Проверяем первое: $\cos(0)=1$. Верно.
Таким образом, система, а значит и исходное уравнение, имеет единственное решение $x=0$.

Ответ: Для решения уравнений и неравенств можно использовать свойства функций, такие как монотонность и ограниченность. Метод монотонности позволяет доказать единственность корня, найденного подбором. Метод оценки (ограниченности) позволяет свести решение уравнения к поиску таких значений переменной, при которых левая и правая части одновременно достигают своих граничных значений.