Номер 2, страница 436, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §59 - номер 2, страница 436.

Условие.

2. Какие две системы двух уравнений с двумя переменными называют равносильными?

Решение 6.

Две системы двух уравнений с двумя переменными называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Это означает, что любая пара чисел $(x, y)$, которая является решением первой системы, должна быть решением и второй системы, и наоборот, любое решение второй системы должно являться решением первой.

Также равносильными считаются две системы, если обе они не имеют решений. В этом случае их множества решений одинаковы — они оба являются пустыми множествами.

Например, рассмотрим две системы уравнений.

Система 1: $$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases} $$ Чтобы решить эту систему, можно сложить два уравнения: $(x + y) + (x - y) = 7 + 3$, что дает $2x = 10$, откуда $x=5$. Подставив значение $x$ в первое уравнение, получаем $5 + y = 7$, откуда $y=2$. Таким образом, решением первой системы является единственная пара чисел $(5, 2)$.

Система 2: $$ \begin{cases} 2x = 10 \\ x + y = 7 \end{cases} $$ Из первого уравнения этой системы получаем $x = \frac{10}{2} = 5$. Подставив это значение во второе уравнение, получаем $5 + y = 7$, откуда $y = 2$. Решением второй системы также является пара чисел $(5, 2)$.

Так как множества решений обеих систем состоят из одной и той же пары чисел $(5, 2)$, эти две системы являются равносильными.

Ответ: Две системы двух уравнений с двумя переменными называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. В частности, две системы, не имеющие решений, также считаются равносильными.