Номер 1, страница 443, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 10 - номер 1, страница 443.

Условие.

1. Диофантовы уравнения.

Решение 6.

Определение и общие сведения

Диофантовы уравнения — это алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, для которых требуется найти целочисленные решения. Названы они в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который изучал такие уравнения в III веке н.э.

В общем виде диофантово уравнение можно записать как $P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0$, где $P$ — многочлен с целыми коэффициентами, а переменные $x_1, x_2, \ldots, x_n$ могут принимать только целые значения.

Поиск общего метода решения для всех диофантовых уравнений являлся одной из величайших математических задач. Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 году, ставила вопрос о существовании такого универсального алгоритма. В 1970 году Юрий Матиясевич доказал, что такого алгоритма не существует. Это означает, что нет единого способа определить, имеет ли произвольное диофантово уравнение целочисленные решения. Однако для некоторых классов уравнений методы решения существуют.

Ответ: Диофантовы уравнения — это уравнения в целых числах, то есть уравнения вида $P(x_1, \ldots, x_n) = 0$, где $P$ — многочлен с целыми коэффициентами, и решения ищутся также в целых числах.

Линейные диофантовы уравнения

Наиболее простой и изученный класс — это линейные диофантовы уравнения. Простейшее такое уравнение с двумя переменными имеет вид:

$ax + by = c$

где $a, b, c$ — заданные целые числа, а $x, y$ — неизвестные целые числа.

Условие разрешимости: Такое уравнение имеет целочисленные решения тогда и только тогда, когда $c$ делится нацело на наибольший общий делитель (НОД) чисел $a$ и $b$. То есть, $c \vdots \text{НОД}(a, b)$.

Алгоритм решения:

1. Найти $d = \text{НОД}(a, b)$ с помощью алгоритма Евклида.
2. Проверить, делится ли $c$ на $d$. Если нет, то целочисленных решений нет.
3. Если $c$ делится на $d$, то разделим обе части уравнения на $d$:
   $a'x + b'y = c'$, где $a' = a/d$, $b' = b/d$, $c' = c/d$. Теперь $\text{НОД}(a', b') = 1$.
4. Найти одно частное решение $(x_0, y_0)$ уравнения $a'x + b'y = c'$. Это можно сделать, используя расширенный алгоритм Евклида для нахождения чисел $u, v$ таких, что $a'u + b'v = \text{НОД}(a', b') = 1$. Тогда частное решение будет $x_0 = u \cdot c'$, $y_0 = v \cdot c'$.
5. Записать общее решение. Все целочисленные решения $(x, y)$ исходного уравнения описываются формулами:
   $x = x_0 + b't = x_0 + \frac{b}{d} t$
   $y = y_0 - a't = y_0 - \frac{a}{d} t$
   где $t$ — любое целое число.

Пример: Решить уравнение $12x + 21y = 39$.

1. Находим $\text{НОД}(12, 21)$. $21 = 1 \cdot 12 + 9$; $12 = 1 \cdot 9 + 3$; $9 = 3 \cdot 3 + 0$. Значит, $d = \text{НОД}(12, 21) = 3$.
2. Проверяем условие: $39$ делится на $3$ ($39 = 13 \cdot 3$). Решения существуют.
3. Делим уравнение на $d=3$: $4x + 7y = 13$. Здесь $a'=4, b'=7, c'=13$.
4. Ищем частное решение. Можно подобрать: если $x_0 = -2$, то $4(-2) + 7y = 13 \Rightarrow -8 + 7y = 13 \Rightarrow 7y = 21 \Rightarrow y_0 = 3$. Итак, частное решение $(-2, 3)$.
5. Записываем общее решение. Здесь $d=3, a=12, b=21$.
   $x = x_0 + \frac{b}{d} t = -2 + \frac{21}{3} t = -2 + 7t$
   $y = y_0 - \frac{a}{d} t = 3 - \frac{12}{3} t = 3 - 4t$
   где $t \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Линейное диофантово уравнение $ax+by=c$ разрешимо в целых числах, если $c$ делится на $\text{НОД}(a, b)$. Его общее решение можно найти, определив одно частное решение $(x_0, y_0)$ и используя формулы $x = x_0 + (b/d)t$, $y = y_0 - (a/d)t$, где $d=\text{НОД}(a, b)$ и $t$ — любое целое число.

Нелинейные диофантовы уравнения

Для нелинейных уравнений не существует общего метода решения. Часто для каждого конкретного типа уравнения требуются свои, порой очень сложные, подходы.

Примеры известных нелинейных диофантовых уравнений:

1. Уравнение Пифагора: $x^2 + y^2 = z^2$.
   Решения этого уравнения называются пифагоровыми тройками. Все примитивные (где $x, y, z$ взаимно просты) решения в натуральных числах задаются формулами Евклида:
   $x = m^2 - n^2$
   $y = 2mn$
   $z = m^2 + n^2$
   где $m, n$ — взаимно простые натуральные числа разной четности и $m > n$. Все остальные решения получаются умножением примитивных троек на произвольный натуральный коэффициент $k$.
2. Уравнение Пелля: $x^2 - ny^2 = 1$.
   Здесь $n$ — заданное натуральное число, не являющееся полным квадратом. Такое уравнение всегда имеет тривиальное решение $(1, 0)$. Если $n$ не является квадратом целого числа, то уравнение Пелля всегда имеет бесконечно много целочисленных решений. Эти решения тесно связаны с цепными дробями для $\sqrt{n}$.
3. Великая теорема Ферма: $x^n + y^n = z^n$.
   Пьер де Ферма предположил, что для любого натурального числа $n > 2$ это уравнение не имеет решений в натуральных числах $x, y, z$. Эта гипотеза оставалась недоказанной более 350 лет, пока в 1994 году ее полностью не доказал Эндрю Уайлс.

Для решения нелинейных диофантовых уравнений используются самые разные методы: метод разложения на множители, использование сравнений по модулю, метод бесконечного спуска, а также сложный аппарат алгебраической геометрии и теории чисел.

Ответ: Нелинейные диофантовы уравнения представляют собой широкий класс задач, не имеющих общего алгоритма решения. Для их анализа применяются специфические методы, разработанные для конкретных типов уравнений, таких как уравнение Пифагора, уравнение Пелля или уравнение из Великой теоремы Ферма.