Страница 443, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Диофантовы уравнения.

Определение и общие сведения

Диофантовы уравнения — это алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, для которых требуется найти целочисленные решения. Названы они в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который изучал такие уравнения в III веке н.э.

В общем виде диофантово уравнение можно записать как $P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0$, где $P$ — многочлен с целыми коэффициентами, а переменные $x_1, x_2, \ldots, x_n$ могут принимать только целые значения.

Поиск общего метода решения для всех диофантовых уравнений являлся одной из величайших математических задач. Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 году, ставила вопрос о существовании такого универсального алгоритма. В 1970 году Юрий Матиясевич доказал, что такого алгоритма не существует. Это означает, что нет единого способа определить, имеет ли произвольное диофантово уравнение целочисленные решения. Однако для некоторых классов уравнений методы решения существуют.

Ответ: Диофантовы уравнения — это уравнения в целых числах, то есть уравнения вида $P(x_1, \ldots, x_n) = 0$, где $P$ — многочлен с целыми коэффициентами, и решения ищутся также в целых числах.

Линейные диофантовы уравнения

Наиболее простой и изученный класс — это линейные диофантовы уравнения. Простейшее такое уравнение с двумя переменными имеет вид:

$ax + by = c$

где $a, b, c$ — заданные целые числа, а $x, y$ — неизвестные целые числа.

Условие разрешимости: Такое уравнение имеет целочисленные решения тогда и только тогда, когда $c$ делится нацело на наибольший общий делитель (НОД) чисел $a$ и $b$. То есть, $c \vdots \text{НОД}(a, b)$.

Алгоритм решения:

1. Найти $d = \text{НОД}(a, b)$ с помощью алгоритма Евклида.
2. Проверить, делится ли $c$ на $d$. Если нет, то целочисленных решений нет.
3. Если $c$ делится на $d$, то разделим обе части уравнения на $d$:
   $a'x + b'y = c'$, где $a' = a/d$, $b' = b/d$, $c' = c/d$. Теперь $\text{НОД}(a', b') = 1$.
4. Найти одно частное решение $(x_0, y_0)$ уравнения $a'x + b'y = c'$. Это можно сделать, используя расширенный алгоритм Евклида для нахождения чисел $u, v$ таких, что $a'u + b'v = \text{НОД}(a', b') = 1$. Тогда частное решение будет $x_0 = u \cdot c'$, $y_0 = v \cdot c'$.
5. Записать общее решение. Все целочисленные решения $(x, y)$ исходного уравнения описываются формулами:
   $x = x_0 + b't = x_0 + \frac{b}{d} t$
   $y = y_0 - a't = y_0 - \frac{a}{d} t$
   где $t$ — любое целое число.

Пример: Решить уравнение $12x + 21y = 39$.

1. Находим $\text{НОД}(12, 21)$. $21 = 1 \cdot 12 + 9$; $12 = 1 \cdot 9 + 3$; $9 = 3 \cdot 3 + 0$. Значит, $d = \text{НОД}(12, 21) = 3$.
2. Проверяем условие: $39$ делится на $3$ ($39 = 13 \cdot 3$). Решения существуют.
3. Делим уравнение на $d=3$: $4x + 7y = 13$. Здесь $a'=4, b'=7, c'=13$.
4. Ищем частное решение. Можно подобрать: если $x_0 = -2$, то $4(-2) + 7y = 13 \Rightarrow -8 + 7y = 13 \Rightarrow 7y = 21 \Rightarrow y_0 = 3$. Итак, частное решение $(-2, 3)$.
5. Записываем общее решение. Здесь $d=3, a=12, b=21$.
   $x = x_0 + \frac{b}{d} t = -2 + \frac{21}{3} t = -2 + 7t$
   $y = y_0 - \frac{a}{d} t = 3 - \frac{12}{3} t = 3 - 4t$
   где $t \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Линейное диофантово уравнение $ax+by=c$ разрешимо в целых числах, если $c$ делится на $\text{НОД}(a, b)$. Его общее решение можно найти, определив одно частное решение $(x_0, y_0)$ и используя формулы $x = x_0 + (b/d)t$, $y = y_0 - (a/d)t$, где $d=\text{НОД}(a, b)$ и $t$ — любое целое число.

Нелинейные диофантовы уравнения

Для нелинейных уравнений не существует общего метода решения. Часто для каждого конкретного типа уравнения требуются свои, порой очень сложные, подходы.

Примеры известных нелинейных диофантовых уравнений:

1. Уравнение Пифагора: $x^2 + y^2 = z^2$.
   Решения этого уравнения называются пифагоровыми тройками. Все примитивные (где $x, y, z$ взаимно просты) решения в натуральных числах задаются формулами Евклида:
   $x = m^2 - n^2$
   $y = 2mn$
   $z = m^2 + n^2$
   где $m, n$ — взаимно простые натуральные числа разной четности и $m > n$. Все остальные решения получаются умножением примитивных троек на произвольный натуральный коэффициент $k$.
2. Уравнение Пелля: $x^2 - ny^2 = 1$.
   Здесь $n$ — заданное натуральное число, не являющееся полным квадратом. Такое уравнение всегда имеет тривиальное решение $(1, 0)$. Если $n$ не является квадратом целого числа, то уравнение Пелля всегда имеет бесконечно много целочисленных решений. Эти решения тесно связаны с цепными дробями для $\sqrt{n}$.
3. Великая теорема Ферма: $x^n + y^n = z^n$.
   Пьер де Ферма предположил, что для любого натурального числа $n > 2$ это уравнение не имеет решений в натуральных числах $x, y, z$. Эта гипотеза оставалась недоказанной более 350 лет, пока в 1994 году ее полностью не доказал Эндрю Уайлс.

Для решения нелинейных диофантовых уравнений используются самые разные методы: метод разложения на множители, использование сравнений по модулю, метод бесконечного спуска, а также сложный аппарат алгебраической геометрии и теории чисел.

Ответ: Нелинейные диофантовы уравнения представляют собой широкий класс задач, не имеющих общего алгоритма решения. Для их анализа применяются специфические методы, разработанные для конкретных типов уравнений, таких как уравнение Пифагора, уравнение Пелля или уравнение из Великой теоремы Ферма.

2. Применение свойств функций для решения уравнений (неравенств).

1. Диофантовы уравнения.

Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, для которого требуется найти целочисленные решения. Названы они в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. В общем виде уравнение записывается как $P(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$, где $P$ — многочлен, а решения $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ ищутся в множестве целых чисел $\mathbb{Z}$.

Наиболее простым и изученным классом являются линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными вида:
$ax + by = c$
где $a, b, c$ — заданные целые числа, а $x, y$ — неизвестные целые.

Условие существования решений: Уравнение $ax + by = c$ имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда $c$ делится нацело на наибольший общий делитель (НОД) чисел $a$ и $b$. То есть, $c \vdots \text{НОД}(a, b)$.

Алгоритм решения линейного уравнения:

1. Найти $\text{НОД}(a, b)$. Если $c$ не делится на $\text{НОД}(a, b)$, то целочисленных решений нет.
2. Если решения существуют, разделить обе части уравнения на $d = \text{НОД}(a, b)$, получив уравнение $a'x + b'y = c'$, где $a' = a/d, b' = b/d, c' = c/d$, и при этом $\text{НОД}(a', b') = 1$.
3. Найти одно частное решение $(x_0, y_0)$ для уравнения $a'x + b'y = c'$. Это можно сделать либо подбором (если коэффициенты малы), либо с помощью расширенного алгоритма Евклида.
4. Записать общее решение. Все целочисленные решения исходного уравнения описываются формулами:
   $x = x_0 + b' \cdot t = x_0 + \frac{b}{\text{НОД}(a, b)} \cdot t$
   $y = y_0 - a' \cdot t = y_0 - \frac{a}{\text{НОД}(a, b)} \cdot t$
   где $t$ — любое целое число ($t \in \mathbb{Z}$).

Пример: Решить в целых числах уравнение $6x + 9y = 21$.
1. Находим $\text{НОД}(6, 9) = 3$.
2. Так как $21$ делится на $3$, решения существуют. Делим уравнение на $3$: $2x + 3y = 7$.
3. Подбором находим частное решение. Например, если $x=2$, то $2(2) + 3y = 7 \implies 4 + 3y = 7 \implies 3y=3 \implies y=1$. Частное решение: $(x_0, y_0) = (2, 1)$.
4. Записываем общее решение. Здесь $a'=2, b'=3$:
$x = 2 + 3t$
$y = 1 - 2t$
где $t \in \mathbb{Z}$.

Для решения нелинейных диофантовых уравнений часто применяются другие методы:

• Метод разложения на множители: Преобразование уравнения к виду, где произведение выражений равно целому числу. Например, $xy - x - y = 1 \implies (x-1)(y-1) = 2$.
• Метод остатков (сравнения по модулю): Анализ уравнения по некоторому целочисленному модулю, что может доказать отсутствие решений или сузить их поиск.
• Метод оценки (ограничения): Нахождение границ для переменных, что сводит задачу к перебору конечного числа вариантов. Например, для $x^2 + y^2 = 50$, очевидно, что $|x| \le 7$ и $|y| \le 7$.

Ответ: Диофантовы уравнения — это уравнения в целых числах. Для линейных уравнений вида $ax+by=c$ существует четкий алгоритм решения, основанный на НОД коэффициентов. Для нелинейных уравнений применяются специальные методы, такие как разложение на множители, анализ по модулю и оценка переменных.

2. Применение свойств функций для решения уравнений (неравенств).

Этот метод заключается в решении уравнений и неравенств не с помощью алгебраических преобразований, а на основе анализа свойств функций, входящих в уравнение. Он особенно эффективен для нестандартных, трансцендентных уравнений. Основные используемые свойства — монотонность и ограниченность.

1. Использование монотонности.
Монотонная функция — это функция, которая либо только возрастает, либо только убывает на своей области определения.

• Если функция $f(x)$ строго монотонна, то любое значение она принимает не более одного раза. Поэтому уравнение $f(x) = C$ (где $C$ — константа) имеет не более одного корня. Если корень удается найти подбором, он будет единственным.
  Пример: Решить уравнение $\sqrt{x-1} + \sqrt{x+4} = 5$.
  Функция $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x+4}$ является строго возрастающей на своей области определения $[1; +\infty)$ как сумма двух возрастающих функций.
  Значит, уравнение $f(x)=5$ имеет не более одного корня. Легко заметить, что $x=5$ является корнем: $\sqrt{5-1} + \sqrt{5+4} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5$.
  Поскольку корень найден, а функция монотонна, других корней нет.
• Если в уравнении $f(x) = g(x)$ одна из функций, например $f(x)$, строго возрастает, а другая, $g(x)$, строго убывает, то такое уравнение также имеет не более одного корня.
  Пример: Решить уравнение $3^x = 4 - x$.
  Функция $f(x) = 3^x$ — строго возрастающая. Функция $g(x) = 4 - x$ — строго убывающая.
  Уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим $x=1$: $3^1=3$ и $4-1=3$. Равенство верное. Значит, $x=1$ — единственный корень.

2. Использование ограниченности (оценка множества значений).
Этот метод основан на том, что для уравнения $f(x) = g(x)$ равенство возможно только тогда, когда множества значений функций $E(f)$ и $E(g)$ пересекаются. Если удается показать, что $f(x) \ge A$ и $g(x) \le A$ для всех $x$ из области определения, то равенство возможно только в том случае, если $f(x) = g(x) = A$.
Пример: Решить уравнение $\cos(x) = x^2 + 1$.
Левая часть: $f(x) = \cos(x)$. Множество значений $E(f) = [-1, 1]$. Таким образом, $f(x) \le 1$.
Правая часть: $g(x) = x^2 + 1$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $g(x) \ge 1$.
Равенство $f(x)=g(x)$ возможно только если обе части равны 1.
$\left\{\begin{array}{l} \cos(x) = 1 \\ x^2 + 1 = 1 \end{array}\right.$
Из второго уравнения: $x^2 = 0 \implies x=0$.
Проверяем первое: $\cos(0)=1$. Верно.
Таким образом, система, а значит и исходное уравнение, имеет единственное решение $x=0$.

Ответ: Для решения уравнений и неравенств можно использовать свойства функций, такие как монотонность и ограниченность. Метод монотонности позволяет доказать единственность корня, найденного подбором. Метод оценки (ограниченности) позволяет свести решение уравнения к поиску таких значений переменной, при которых левая и правая части одновременно достигают своих граничных значений.

3. Уравнения и неравенства с модулями.

Для решения некоторых уравнений и неравенств, которые трудно или невозможно решить стандартными алгебраическими методами, эффективно применяются свойства функций. Этот подход часто позволяет найти решение быстрее или доказать его единственность/отсутствие.

Основные используемые свойства:

• Монотонность

  Функция называется строго монотонной на некотором промежутке, если она на нем только возрастает или только убывает.

  - Если функция $f(x)$ строго монотонна на своей области определения, то уравнение $f(x) = C$ (где $C$ – константа) имеет не более одного корня. Если корень удается подобрать, то он будет единственным.
  Пример: Решить уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{x+3} = 3$.
  Функция $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x+3}$ является суммой двух возрастающих функций, следовательно, она возрастает на своей области определения $x \ge 0$. Значит, уравнение $f(x) = 3$ имеет не более одного корня. Подбором находим, что $x=1$ является корнем: $\sqrt{1} + \sqrt{1+3} = 1+2 = 3$. Таким образом, $x=1$ – единственное решение.

  - Если на некотором промежутке функция $f(x)$ возрастает, а функция $g(x)$ убывает, то уравнение $f(x)=g(x)$ имеет не более одного корня.
  Пример: Решить уравнение $2^x = 3-x$.
  Функция $f(x) = 2^x$ возрастающая, а функция $g(x) = 3-x$ убывающая. Уравнение имеет не более одного корня. Легко видеть, что $x=1$ является решением ($2^1 = 3-1$). Следовательно, это единственный корень.

• Ограниченность

  Если для уравнения $f(x) = g(x)$ удается показать, что для всех $x$ из области определения $f(x) \ge A$ и $g(x) \le A$ для некоторого числа $A$, то равенство возможно тогда и только тогда, когда $f(x)$ и $g(x)$ одновременно равны $A$. То есть, уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases} $$ Пример: Решить уравнение $\cos(2x) = x^2+1$.
  Оценим левую и правую части. Известно, что $\cos(2x) \le 1$ для любого $x$. В то же время, $x^2 \ge 0$, поэтому $x^2+1 \ge 1$.
  Равенство $\cos(2x) = x^2+1$ возможно лишь в том случае, когда обе части равны 1. $$ \begin{cases} \cos(2x) = 1 \\ x^2+1 = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения системы находим $x^2=0$, откуда $x=0$. Подставляем это значение в первое уравнение: $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$. Равенство верное. Значит, $x=0$ – единственное решение.

• Использование области определения функции (ОДЗ)

  Иногда область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении или неравенстве оказывается пустым множеством или состоит из одного или нескольких чисел. В таких случаях достаточно проверить эти числа подстановкой.
  Пример: Решить уравнение $\sqrt{x-5} + \sqrt{2-x} = x^2$.
  Найдем ОДЗ. Для существования корней должны выполняться условия: $$ \begin{cases} x-5 \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 2 \end{cases} $$ Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно больше или равно 5 и меньше или равно 2. ОДЗ – пустое множество, следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: Применение свойств функций (монотонность, ограниченность, область определения) является мощным методом решения нестандартных уравнений и неравенств, который позволяет либо найти единственный корень (например, методом подбора с последующим доказательством единственности), либо доказать отсутствие решений, либо свести сложную задачу к более простой.

Уравнения и неравенства с модулем (абсолютной величиной) решаются несколькими основными методами, выбор которых зависит от вида самого выражения.

Основные методы решения:

1. Раскрытие модуля по определению (метод интервалов)

   Этот универсальный метод основан на определении модуля: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.
   Алгоритм:

   1. Найти все значения переменной, при которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль.
   2. Отметить эти значения на числовой прямой, которая разобьется на интервалы.
   3. На каждом интервале определить знаки подмодульных выражений и раскрыть модули в соответствии с этими знаками.
   4. Решить полученное на каждом интервале уравнение или неравенство.
   5. Проверить, принадлежат ли найденные решения рассматриваемому интервалу.
   6. Объединить все решения, удовлетворяющие своим интервалам.

   Пример: Решить уравнение $|x+2| - |x-3| = 1$.
   Нули подмодульных выражений: $x=-2$ и $x=3$. Они разбивают числовую прямую на три промежутка.
   1) При $x < -2$: оба модуля раскрываются со знаком "минус". $-(x+2) - (-(x-3)) = 1 \Rightarrow -x-2+x-3=1 \Rightarrow -5=1$. Решений нет.
   2) При $-2 \le x < 3$: первый модуль раскрывается с "плюсом", второй – с "минусом". $(x+2) - (-(x-3)) = 1 \Rightarrow x+2+x-3=1 \Rightarrow 2x-1=1 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1$. Значение $x=1$ принадлежит промежутку $[-2, 3)$, значит, это корень.
   3) При $x \ge 3$: оба модуля раскрываются с "плюсом". $(x+2) - (x-3) = 1 \Rightarrow x+2-x+3=1 \Rightarrow 5=1$. Решений нет.
   Единственный корень уравнения – $x=1$.

2. Использование равносильных переходов (формулы)

   Для уравнений и неравенств стандартного вида удобно использовать готовые схемы равносильных преобразований.

   • $|f(x)| = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = g(x) \text{ или } f(x) = -g(x) \end{cases}$
   • $|f(x)| < g(x) \Leftrightarrow -g(x) < f(x) < g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$
   • $|f(x)| > g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) \text{ или } f(x) < -g(x)$
   • $|f(x)| = |g(x)| \Leftrightarrow f(x) = g(x) \text{ или } f(x) = -g(x)$ (или возведением в квадрат: $f^2(x) = g^2(x)$)

   Пример: Решить неравенство $|2x-5| < 3$.
   Используем схему $|f(x)| < g(x)$: $-3 < 2x-5 < 3$.
   Прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства: $-3+5 < 2x < 3+5 \Rightarrow 2 < 2x < 8$.
   Разделим все части на 2: $1 < x < 4$. Решение: $x \in (1, 4)$.

3. Геометрический смысл модуля

   Выражение $|x-a|$ можно интерпретировать как расстояние на числовой прямой между точками с координатами $x$ и $a$.
   Пример: Решить уравнение $|x-1| + |x-7| = 6$.
   Геометрически это означает: сумма расстояний от точки $x$ до точек 1 и 7 равна 6. Расстояние между точками 1 и 7 само по себе равно $|7-1|=6$. Это возможно только в том случае, если точка $x$ лежит на отрезке между 1 и 7.
   Следовательно, решение – любой $x$ из отрезка $[1, 7]$.

4. Метод замены переменной

   Если в уравнении или неравенстве модуль от одного и того же выражения встречается несколько раз, удобно ввести замену.
   Пример: Решить уравнение $x^2 - 6|x| + 5 = 0$.
   Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде $|x|^2 - 6|x| + 5 = 0$.
   Пусть $t = |x|$, при этом $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение $t^2 - 6t + 5 = 0$.
   Его корни (по теореме Виета) $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
   Возвращаемся к исходной переменной:
   1) $|x| = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$.
   2) $|x| = 5 \Rightarrow x_3 = 5, x_4 = -5$.
   В итоге получаем четыре корня: $\{-5, -1, 1, 5\}$.

Ответ: Основные методы решения уравнений и неравенств с модулями — это раскрытие модуля по определению (метод интервалов), использование стандартных равносильных преобразований, применение геометрического смысла модуля и метод замены переменной. Выбор метода зависит от структуры задачи.

4. Иррациональные уравнения и неравенства.

Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная находится под знаком корня (радикала). Например, $\sqrt{x+5} = 3$ или $\sqrt[3]{x^2-1} = x$.

Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную степени корня. Для квадратного корня — в квадрат, для кубического — в куб, и так далее.

Важный момент: при возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появиться посторонние корни. Это происходит потому, что из $A^2 = B^2$ не обязательно следует $A=B$ (может быть и $A=-B$). Поэтому после нахождения корней необходима их проверка либо нужно решать уравнение с помощью равносильных преобразований.

Рассмотрим два подхода к решению уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$.

1. Метод проверки корней.

Сначала решаем уравнение, которое получается после возведения в квадрат, а затем подставляем найденные корни в исходное уравнение и отбрасываем те, которые не являются решением.

Пример: Решить уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

Возведем обе части в квадрат: $x+2 = x^2$.

Получаем квадратное уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$.

Его корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь выполним проверку:

• Подставляем $x=2$: $\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $x=2$. Равенство $2=2$ верное. Значит, $x=2$ является корнем.
• Подставляем $x=-1$: $\sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. Правая часть: $x=-1$. Равенство $1=-1$ неверное. Значит, $x=-1$ — посторонний корень.

Ответ: $x=2$.

2. Метод равносильных преобразований (систем).

Уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = [g(x)]^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

Условие $f(x) \ge 0$ (область определения корня) здесь избыточно, так как оно автоматически выполняется из первого уравнения системы ($f(x)$ равно квадрату, который всегда неотрицателен).

Пример: Решить уравнение $\sqrt{x+2} = x$ этим методом.

Переходим к равносильной системе:

$\begin{cases} x+2 = x^2 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Из первого уравнения, как и ранее, находим корни $x_1=2$ и $x_2=-1$.

Второе условие системы, $x \ge 0$, говорит нам, что подходит только корень $x=2$. Корень $x=-1$ не удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x=2$.

Иррациональные неравенства

Иррациональное неравенство — это неравенство, где переменная стоит под знаком корня. При их решении также используется возведение в степень, но здесь нужно быть еще более внимательным, так как возводить в квадрат можно только неотрицательные части неравенства.

Рассмотрим основные типы иррациональных неравенств.

1. Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$

Чтобы левая часть была меньше правой, необходимо, чтобы, во-первых, корень существовал ($f(x) \ge 0$), во-вторых, правая часть была больше корня, а значит, положительной ($g(x) > 0$). Только после выполнения этих условий можно возводить обе части в квадрат. Это приводит к равносильной системе:

$\sqrt{f(x)} < g(x) \iff \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < [g(x)]^2 \end{cases}$

Пример: Решить неравенство $\sqrt{2x+1} < 3$.

Здесь $g(x) = 3$, что всегда больше нуля. Система упрощается:

$\begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ 2x+1 < 3^2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -1 \\ 2x < 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -0.5 \\ x < 4 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает интервал $[-0.5, 4)$.

Ответ: $x \in [-0.5, 4)$.

2. Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$

Здесь нужно рассматривать два случая, которые объединяются в совокупность.

Случай 1: Правая часть $g(x)$ отрицательна. Если корень существует ($f(x) \ge 0$), то неравенство выполняется автоматически, так как неотрицательное число всегда больше отрицательного.

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) < 0 \end{cases}$

Случай 2: Правая часть $g(x)$ неотрицательна. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства.

$\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > [g(x)]^2 \end{cases}$

Решение исходного неравенства является объединением решений этих двух систем:

$\sqrt{f(x)} > g(x) \iff \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > [g(x)]^2 \end{cases} \end{array} \right.$

Пример: Решить неравенство $\sqrt{x^2 - 3x - 10} > x - 5$.

Составляем совокупность двух систем:

$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x^2 - 3x - 10 \ge 0 \\ x - 5 < 0 \end{cases} \quad (I) \\ \begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ x^2 - 3x - 10 > (x - 5)^2 \end{cases} \quad (II) \end{array} \right.$

Решаем систему (I):

$x^2 - 3x - 10 \ge 0 \implies (x-5)(x+2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.

$x-5 < 0 \implies x < 5$.

Пересечение этих решений: $x \in (-\infty, -2]$.

Решаем систему (II):

$x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$.

$x^2 - 3x - 10 > x^2 - 10x + 25 \implies 7x > 35 \implies x > 5$.

Пересечение этих решений: $x \in (5, \infty)$.

Объединяем решения систем (I) и (II): $(-\infty, -2] \cup (5, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup (5, \infty)$.

5. Классические неравенства о средних и их применение.

4. Иррациональные уравнения и неравенства.

Иррациональными называют уравнения или неравенства, в которых переменная находится под знаком корня (радикала). Основная идея при решении таких задач — избавиться от корня путем возведения обеих частей уравнения или неравенства в соответствующую степень.

Решение иррациональных уравнений

Основной метод решения — возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня.

• Для уравнений вида $\sqrt[2k+1]{f(x)} = g(x)$ (корень нечетной степени) можно без ограничений возводить обе части в степень $2k+1$: $f(x) = (g(x))^{2k+1}$.
• Для уравнений вида $\sqrt[2k]{f(x)} = g(x)$ (корень четной степени) возведение в степень $2k$ может привести к появлению посторонних корней. Это происходит потому, что из $A^{2k} = B^{2k}$ не следует, что $A=B$. Поэтому необходима проверка найденных корней или учет области допустимых значений (ОДЗ).

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $$ Условие $f(x) \ge 0$ здесь является избыточным, так как оно автоматически выполняется из первого уравнения системы ($f(x)$ равно квадрату, который всегда неотрицателен).

Пример. Решить уравнение $\sqrt{x+7} = x-5$.
Решение:
Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x+7 = (x-5)^2 \\ x-5 \ge 0 \end{cases} $$ Решим первое уравнение:
$x+7 = x^2 - 10x + 25$
$x^2 - 11x + 18 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 9$.
Теперь проверим выполнение второго условия системы $x-5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет этому условию ($2 < 5$), следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет этому условию ($9 \ge 5$).

Ответ: $x=9$.

Решение иррациональных неравенств

При решении неравенств с корнями четной степени также необходимо быть внимательным.

1. Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) < (g(x))^2 \\ f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $$

2. Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{array} \right. $$

Пример. Решить неравенство $\sqrt{2x+1} > x-1$.
Решение:
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
1) $\begin{cases} x-1 < 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x \ge -1/2 \end{cases} \implies x \in [-1/2, 1)$.
2) $\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ 2x+1 > (x-1)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ 2x+1 > x^2-2x+1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x^2-4x < 0 \end{cases}$.
Решим неравенство $x^2-4x < 0 \implies x(x-4) < 0 \implies x \in (0, 4)$.
Найдем пересечение решений второй системы: $\begin{cases} x \ge 1 \\ x \in (0, 4) \end{cases} \implies x \in [1, 4)$.
Объединяя решения обеих систем, получаем: $x \in [-1/2, 1) \cup [1, 4) = [-1/2, 4)$.

Ответ: $x \in [-1/2, 4)$.

5. Классические неравенства о средних и их применение.

Классические неравенства о средних устанавливают связь между различными видами средних величин для набора неотрицательных чисел. Для набора чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($a_i \ge 0$) определяются следующие средние:

• Среднее арифметическое (A): $A = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$
• Среднее геометрическое (G): $G = \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$
• Среднее гармоническое (H): $H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}}$ (для $a_i > 0$)
• Среднее квадратичное (Q): $Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{n}}$

Эти средние связаны между собой знаменитым неравенством о средних: $$ H \le G \le A \le Q $$ Равенство во всех частях неравенства достигается тогда и только тогда, когда все числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ равны между собой.

Наиболее часто используется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши): $$ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} $$ Равенство достигается при $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.

Применение неравенств о средних

Неравенства о средних являются мощным инструментом для доказательства других неравенств и для нахождения наибольших и наименьших значений выражений.

Пример 1: Доказательство неравенств.
Доказать, что для любых положительных чисел $a, b, c$ выполняется неравенство $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$.
Решение:
Применим неравенство Коши для пар чисел:
$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \implies a+b \ge 2\sqrt{ab}$
$\frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc} \implies b+c \ge 2\sqrt{bc}$
$\frac{c+a}{2} \ge \sqrt{ca} \implies c+a \ge 2\sqrt{ca}$
Поскольку все части неравенств положительны, мы можем их перемножить:
$(a+b)(b+c)(c+a) \ge (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca}) = 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc$.
Что и требовалось доказать. Равенство достигается при $a=b=c$.

Пример 2: Нахождение экстремумов.
Найти наименьшее значение функции $f(x) = 4x + \frac{9}{x}$ при $x > 0$.
Решение:
Рассмотрим два положительных слагаемых: $4x$ и $\frac{9}{x}$. По неравенству Коши для двух чисел: $$ \frac{4x + \frac{9}{x}}{2} \ge \sqrt{4x \cdot \frac{9}{x}} $$ $$ \frac{f(x)}{2} \ge \sqrt{36} = 6 $$ $$ f(x) \ge 12 $$ Таким образом, наименьшее значение функции равно 12. Это значение достигается, когда слагаемые равны:
$4x = \frac{9}{x} \implies 4x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{4} \implies x = \frac{3}{2}$ (так как $x>0$).

Пример 3: Геометрическая задача.
Из всех прямоугольников с заданным периметром $P$ найти прямоугольник с наибольшей площадью.
Решение:
Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда периметр $P = 2(a+b)$, откуда $a+b = P/2$ (константа). Площадь $S = ab$.
По неравенству Коши: $$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$ Подставим известные величины: $$ \frac{P/2}{2} \ge \sqrt{S} \implies \frac{P}{4} \ge \sqrt{S} $$ Возведя в квадрат, получаем: $S \le \frac{P^2}{16}$.
Наибольшее значение площади $S_{max} = P^2/16$ достигается при условии равенства в неравенстве Коши, то есть когда $a=b$. Это означает, что прямоугольник должен быть квадратом.

Ответ: Неравенства о средних связывают среднее гармоническое, геометрическое, арифметическое и квадратичное ($H \le G \le A \le Q$) и широко применяются для доказательства неравенств и нахождения экстремальных значений выражений.

6. Решение неравенств с помощью обобщённого метода интервалов.

Обобщённый метод интервалов — это универсальный алгоритм для решения сложных неравенств, особенно рациональных, вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$. Суть метода заключается в определении знаков функции $f(x)$ на интервалах, на которые числовая ось разбивается точками, где функция равна нулю или не существует.

1. Приведение к стандартному виду. Все члены неравенства переносятся в одну сторону, чтобы получить неравенство вида $f(x) \lessgtr 0$ или $f(x) \lesseqgtr 0$.

2. Нахождение области определения. Определяется область допустимых значений (ОДЗ) для функции $f(x)$. Из рассмотрения исключаются точки, где функция не определена (например, где знаменатель равен нулю, или подкоренное выражение отрицательно).

3. Нахождение нулей функции. Решается уравнение $f(x) = 0$. Его корни — это нули функции.

4. Разметка числовой оси. На числовую ось наносятся нули функции и "выколотые" точки из ОДЗ.Если неравенство строгое ($>$ или $<$), нули функции отмечаются выколотыми (пустыми) кружками (◦).Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), нули функции отмечаются закрашенными (сплошными) точками (•).Точки, не входящие в ОДЗ, всегда отмечаются выколотыми кружками (◦).

5. Определение знаков на интервалах. Числовая ось разбивается отмеченными точками на интервалы. На каждом из этих интервалов функция $f(x)$ сохраняет свой знак. Чтобы определить этот знак, можно взять любую "пробную" точку из интервала и вычислить знак $f(x)$ в этой точке. Часто используется правило чередования знаков: если корень $x_0$ (из числителя или знаменателя) имеет нечётную кратность (например, $(x-x_0)^1$, $(x-x_0)^3$), то при переходе через него знак функции меняется. Если кратность чётная (например, $(x-x_0)^2$, $(x-x_0)^4$), то знак не меняется.

6. Формирование ответа. На основе знаков на интервалах и типа неравенства выбираются подходящие промежутки. Для нестрогих неравенств в ответ также включаются закрашенные точки.

Решим неравенство $\frac{(x^2 - 4x + 4)(x+3)}{x(x-5)} \ge 0$.

1. Стандартный вид и упрощение.
Неравенство уже в стандартном виде $f(x) \ge 0$. Упростим числитель, применив формулу квадрата разности: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.Получаем $f(x) = \frac{(x-2)^2(x+3)}{x(x-5)}$.

2. Область определения (ОДЗ).
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \neq 0$ и $x-5 \neq 0$.Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 5) \cup (5, +\infty)$.

3. Нули функции.
Приравниваем числитель к нулю: $(x-2)^2(x+3) = 0$.Корни (нули функции): $x=2$ (кратность 2) и $x=-3$ (кратность 1).

4. Разметка числовой оси.
Наносим на ось все найденные точки в порядке возрастания: -3, 0, 2, 5.
Точки $x=-3$ и $x=2$ — нули функции. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому они закрашенные (•).
Точки $x=0$ и $x=5$ — из ОДЗ (нули знаменателя). Они всегда выколотые (◦).

Ось разбивается на интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 5)$, $(5, +\infty)$.

5. Определение знаков.
Определим знак на самом правом интервале $(5, +\infty)$, взяв $x=10$ в качестве пробной точки:
$f(10) = \frac{(10-2)^2(10+3)}{10(10-5)} = \frac{(+)^2(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
Далее движемся справа налево, меняя или сохраняя знак в зависимости от кратности корня:
- через $x=5$ (корень из $x-5$, кратность 1, нечётная) — знак меняется на "-".
- через $x=2$ (корень из $(x-2)^2$, кратность 2, чётная) — знак не меняется, остаётся "-".
- через $x=0$ (корень из $x$, кратность 1, нечётная) — знак меняется на "+".
- через $x=-3$ (корень из $x+3$, кратность 1, нечётная) — знак меняется на "-".
Итоговая расстановка знаков на оси: $(-) \ -3\ (+) \ 0\ (-) \ 2\ (-) \ 5\ (+)$.

6. Запись ответа.
Нам нужно решить неравенство $f(x) \ge 0$. Это соответствует интервалам со знаком "+" и закрашенным точкам (нулям функции).
Интервалы со знаком "+": $(-3, 0)$ и $(5, +\infty)$.
Проверяем граничные точки интервала $(-3, 0)$. Точка $x=-3$ — закрашенная ($f(-3)=0$), поэтому она входит в решение. Точка $x=0$ — выколотая, не входит. Получаем промежуток $[-3, 0)$.
Проверяем изолированную закрашенную точку $x=2$. В этой точке $f(2)=0$. Неравенство $0 \ge 0$ верно, значит, $x=2$ также является решением.
Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x \in [-3, 0) \cup \{2\} \cup (5, +\infty)$.

7. Геометрические подходы к исследованию решений уравнений и систем уравнений.

Геометрические подходы к исследованию решений уравнений и систем уравнений основаны на идее представления алгебраических выражений в виде геометрических объектов (точек, линий, кривых, поверхностей) и интерпретации алгебраических операций в терминах геометрических отношений (пересечение, касание, расстояние и т.д.). Этот метод позволяет наглядно представить задачу, определить количество решений, оценить их значения и, в некоторых случаях, найти точные решения.

Графический метод решения уравнений

Для решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ можно использовать следующий графический подход:
1. В одной системе координат строятся графики двух функций: $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
2. Находятся точки пересечения этих графиков.
3. Абсциссы (координаты $x$) этих точек пересечения являются корнями исходного уравнения. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения.

Пример. Решить уравнение $\sqrt{x} = \frac{8}{x}$.
Рассмотрим две функции: $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{8}{x}$.
- График $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти.
- График $y = \frac{8}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей четвертях. Поскольку область определения уравнения $x > 0$, нас интересует только ветвь в первой четверти.
Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Чтобы найти ее координаты, нужно решить систему:
$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = \frac{8}{x} \end{cases} $
Приравнивая правые части, получаем: $\sqrt{x} = \frac{8}{x}$.
Возведем обе части в квадрат (учитывая, что $x > 0$): $x = \frac{64}{x^2}$.
Отсюда $x^3 = 64$, что дает $x = 4$.
Графический метод позволяет нам быть уверенными, что это единственное решение.

Ответ: Корень уравнения — это абсцисса точки пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Для уравнения $\sqrt{x} = \frac{8}{x}$ решением является $x=4$.

Геометрическая интерпретация систем уравнений

Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными $ \begin{cases} F(x, y) = 0 \\ G(x, y) = 0 \end{cases} $ геометрически означает нахождение координат общих точек двух кривых, заданных этими уравнениями на плоскости $Oxy$. Каждая пара $(x_0, y_0)$, являющаяся решением системы, соответствует точке пересечения этих кривых.

Пример. Исследовать количество решений системы уравнений в зависимости от радиуса $R$: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = R^2 \\ y = x^2 - 6 \end{cases} $
Первое уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом $R > 0$.
Второе уравнение задает параболу с вершиной в точке $(0, -6)$ и ветвями, направленными вверх.
Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и параболы.
1. Если окружность не пересекает параболу (например, при очень маленьком $R$), решений нет.
2. В некоторый момент окружность коснется вершины параболы в точке $(0, -6)$. Это произойдет, когда радиус будет равен расстоянию от центра $(0,0)$ до вершины, т.е. $R = 6$. В этом случае будет одно решение $(0, -6)$. Но это неверно, так как $y=-6$, а $x^2 + (-6)^2 = R^2 \implies x^2+36=R^2$. Подставим $y=x^2-6$ в первое уравнение: $y+6+y^2=R^2 \implies y^2+y+(6-R^2)=0$. Это квадратное уравнение относительно $y$. Для того чтобы было решение, дискриминант $D = 1 - 4(6-R^2) = 4R^2-23$ должен быть неотрицательным. То есть $4R^2 \ge 23 \implies R^2 \ge 23/4 \implies R \ge \frac{\sqrt{23}}{2}$.
- При $R < \frac{\sqrt{23}}{2}$, решений нет.
- При $R = \frac{\sqrt{23}}{2}$, $D=0$, одно значение для $y$. $y = -1/2$. Тогда $x^2 = y+6 = 5.5 = 11/2$, откуда $x = \pm \sqrt{11/2}$. Два решения (симметричные точки касания).
- При $\frac{\sqrt{23}}{2} < R < \sqrt{37}$, $D>0$, два различных значения для $y$. Верхнее значение $y$ дает два значения $x$, нижнее тоже. Но надо проверить, что $y+6 \ge 0$, то есть $y \ge -6$. Оба корня $y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4R^2-23}}{2}$ больше -6. Таким образом, будет 4 решения.
- При $R = \sqrt{37}$ (найдено из $y^2+y-31=0$), одно из решений для $y$ дает $x=0$. Получаем 3 решения.
- При $R > \sqrt{37}$, будет 2 решения.
Таким образом, графический анализ позволяет понять характер расположения кривых и количество решений.

Ответ: Решения системы уравнений — это координаты точек пересечения их графиков. Количество решений зависит от взаимного расположения этих графиков.

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Геометрический подход особенно эффективен при решении задач с параметрами. В этом случае параметр рассматривается как переменная, влияющая на положение или форму графика. Задача сводится к анализу взаимного расположения семейства кривых (зависящих от параметра) и некоторой фиксированной кривой.

Пример. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $|x^2 - 4x + 3| = a$ имеет ровно четыре корня.
Рассмотрим графики функций $y = |x^2 - 4x + 3|$ и $y = a$.
1. Построим график функции $y = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх. Корни: $x_1=1, x_2=3$. Вершина находится в точке $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Значение в вершине: $y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
2. Чтобы построить график $y = |x^2 - 4x + 3|$, нужно часть параболы, лежащую ниже оси $Ox$ (между корнями $x=1$ и $x=3$), симметрично отразить относительно этой оси. Вершина $(2, -1)$ перейдет в точку $(2, 1)$.
3. График функции $y=a$ — это горизонтальная прямая.
4. Теперь проанализируем количество точек пересечения прямой $y=a$ с графиком $y = |x^2 - 4x + 3|$ в зависимости от $a$:
- Если $a < 0$, пересечений нет (0 корней).
- Если $a = 0$, прямая совпадает с осью $Ox$, есть две точки пересечения $(1,0)$ и $(3,0)$ (2 корня).
- Если $0 < a < 1$, прямая пересекает график в четырех точках (4 корня).
- Если $a = 1$, прямая касается отраженной вершины в точке $(2,1)$ и пересекает "ветви" параболы еще в двух точках (3 корня).
- Если $a > 1$, прямая пересекает график в двух точках (2 корня).
Нас интересует случай, когда уравнение имеет ровно четыре корня. Это происходит при $0 < a < 1$.

Ответ: Уравнение имеет четыре корня при $a \in (0, 1)$.

Использование векторов и расстояний

Некоторые уравнения и системы можно интерпретировать в терминах расстояний между точками или свойств векторов.

Пример. Решить уравнение $\sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 + y^2 - 8x - 6y + 25} = 4$.
Преобразуем выражения под корнями, выделив полные квадраты:
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + \sqrt{(x-4)^2 + (y-3)^2} = 4$.
Выражение $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ — это формула расстояния между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
Пусть у нас есть точка $M(x, y)$, точка $A(1, 0)$ и точка $B(4, 3)$.
Тогда уравнение можно записать как $MA + MB = 4$, где $MA$ — расстояние от $M$ до $A$, а $MB$ — расстояние от $M$ до $B$.
Найдем расстояние между точками $A$ и $B$:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
Поскольку $3\sqrt{2} \approx 3 \cdot 1.414 = 4.24 > 4$, то $AB > 4$.
Мы получили уравнение $MA + MB = 4$, при этом расстояние между "фокусами" $AB = 3\sqrt{2} > 4$.
Из неравенства треугольника для треугольника $AMB$ следует, что $MA + MB \ge AB$.
В нашем случае получается $4 \ge 3\sqrt{2}$, что неверно.
Это означает, что не существует такой точки $M$, для которой выполнялось бы это равенство. Следовательно, уравнение не имеет решений.
(Если бы получилось, например, $MA+MB=5$, то $5 > 3\sqrt{2}$ и решением был бы эллипс с фокусами в A и B. Если бы $MA+MB = 3\sqrt{2}$, то решением был бы отрезок AB).

Ответ: Уравнение не имеет решений, так как оно противоречит неравенству треугольника.