Номер 1.4, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 1. Числовые функции. §1. Определение числовой функции и способы её задания - номер 1.4, страница 4.

Условие.

Найдите область определения функции:

1.4 a) $y = \frac{3x - 2}{5x + 3}$;

б) $y = \frac{6}{x^2 - 16}$;

в) $y = \frac{5 + 6x}{2x - 4}$;

г) $y = \frac{7}{25 - x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Область определения функции $y = \frac{3x - 2}{5x + 3}$ – это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключим их из области определения:
$5x + 3 = 0$
$5x = -3$
$x = -\frac{3}{5}$
$x = -0.6$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -0.6$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0.6) \cup (-0.6; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \frac{6}{x^2 - 16}$ – это множество всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:
$x^2 - 16 = 0$
Используем формулу разности квадратов:
$(x - 4)(x + 4) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 4 = 0$ или $x + 4 = 0$
$x_1 = 4$
$x_2 = -4$
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -4$ и $x = 4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \frac{5 + 6x}{2x - 4}$ – это множество всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$2x - 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
Значит, из области определения нужно исключить значение $x = 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \frac{7}{25 - x^2}$ – это множество всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.
Найдем недопустимые значения $x$, приравняв знаменатель к нулю:
$25 - x^2 = 0$
Используем формулу разности квадратов:
$(5 - x)(5 + x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$5 - x = 0$ или $5 + x = 0$
$x_1 = 5$
$x_2 = -5$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -5$ и $x = 5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.