Номер 1.14, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§1. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 1.14, страница 6.

1.14 Используя график функции $y = f(x)$, изображённый на рис. 1, по-стройте график функции:

а) $y = f(-x)$

б) $y = -f(x)$

в) $y = -f(-x)$

г) $y = f(x - 1) + 2$

Рис. 1

Для построения графиков функций будем использовать правила преобразования графиков.

Определим ключевые точки исходного графика функции $y=f(x)$:

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $x = -6, x = -2, x = 4$. Точки: $(-6, 0), (-2, 0), (4, 0)$.
• Точка локального максимума: $(-4, 4)$.
• Точка локального минимума: $(1, -2)$.

а) y = f(-x)

График функции $y = f(-x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (оси OY). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(-x, y)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Нули функции: $(-(-6), 0) \rightarrow (6, 0)$; $(-(-2), 0) \rightarrow (2, 0)$; $(-(4), 0) \rightarrow (-4, 0)$. Новые нули: $x = -4, x = 2, x = 6$.
• Точка максимума: $(-(-4), 4) \rightarrow (4, 4)$.
• Точка минимума: $(-(1), -2) \rightarrow (-1, -2)$.

Ответ: Для построения графика $y=f(-x)$ нужно отразить исходный график симметрично относительно оси OY. Новый локальный максимум будет в точке $(4, 4)$, а локальный минимум — в точке $(-1, -2)$. Нули функции будут в точках $x = -4, x = 2, x = 6$.

б) y = -f(x)

График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси OX). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(x, -y)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Нули функции: $(-6, -0) \rightarrow (-6, 0)$; $(-2, -0) \rightarrow (-2, 0)$; $(4, -0) \rightarrow (4, 0)$. Нули функции остаются на тех же местах: $x = -6, x = -2, x = 4$.
• Точка максимума $(-4, 4)$ переходит в точку локального минимума $(-4, -4)$.
• Точка минимума $(1, -2)$ переходит в точку локального максимума $(1, 2)$.

Ответ: Для построения графика $y=-f(x)$ нужно отразить исходный график симметрично относительно оси OX. Нули функции не изменятся ($x = -6, x = -2, x = 4$). Локальный максимум станет локальным минимумом в точке $(-4, -4)$, а локальный минимум — локальным максимумом в точке $(1, 2)$.

в) y = -f(-x)

График функции $y = -f(-x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем центральной симметрии относительно начала координат (поворота на $180^\circ$). Это равносильно последовательному отражению относительно оси OY, а затем оси OX. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(-x, -y)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Нули функции: $(-(-6), -0) \rightarrow (6, 0)$; $(-(-2), -0) \rightarrow (2, 0)$; $(-(4), -0) \rightarrow (-4, 0)$. Новые нули: $x = -4, x = 2, x = 6$.
• Точка максимума $(-4, 4)$ переходит в точку локального минимума $(-(-4), -4) \rightarrow (4, -4)$.
• Точка минимума $(1, -2)$ переходит в точку локального максимума $(-(1), -(-2)) \rightarrow (-1, 2)$.

Ответ: Для построения графика $y=-f(-x)$ нужно отразить исходный график симметрично относительно начала координат. Новый локальный максимум будет в точке $(-1, 2)$, а локальный минимум — в точке $(4, -4)$. Нули функции будут в точках $x = -4, x = 2, x = 6$.

г) y = f(x - 1) + 2

График функции $y = f(x-1) + 2$ получается из графика $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вправо вдоль оси OX и на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(x+1, y+2)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Бывшие нули функции: $(-6, 0) \rightarrow (-6+1, 0+2) = (-5, 2)$; $(-2, 0) \rightarrow (-2+1, 0+2) = (-1, 2)$; $(4, 0) \rightarrow (4+1, 0+2) = (5, 2)$.
• Точка максимума: $(-4, 4) \rightarrow (-4+1, 4+2) = (-3, 6)$.
• Точка минимума: $(1, -2) \rightarrow (1+1, -2+2) = (2, 0)$.

Новая точка локального минимума $(2, 0)$ лежит на оси OX. Это означает, что график касается оси абсцисс в этой точке, и это единственный нуль новой функции.

Ответ: Для построения графика $y = f(x-1) + 2$ нужно сдвинуть исходный график на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. Новый локальный максимум будет в точке $(-3, 6)$, а локальный минимум — в точке $(2, 0)$. Функция будет иметь один нуль: $x=2$.