Номер 1.18, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§1. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 1.18, страница 6.

1.18 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } 0 < x < 1 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \geq 1 \end{cases}$

a) Найдите $f(6,25); f(0,01); f(-3);$

б) постройте график функции;

в) найдите $D(f);$

г) найдите $E(f).$

а) Для нахождения значений функции необходимо определить, какому из двух промежутков принадлежит аргумент $x$.

1. Найдем $f(6,25)$. Так как $6,25 \ge 1$, используем вторую формулу: $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(6,25) = \sqrt{6,25} = 2,5$.

2. Найдем $f(0,01)$. Так как $0 < 0,01 < 1$, используем первую формулу: $f(x) = \frac{1}{x}$.
$f(0,01) = \frac{1}{0,01} = 100$.

3. Найдем $f(-3)$. Аргумент $x = -3$ не удовлетворяет ни одному из условий: ни $0 < -3 < 1$, ни $-3 \ge 1$. Следовательно, значение функции в этой точке не определено.

Ответ: $f(6,25) = 2,5$; $f(0,01) = 100$; $f(-3)$ не определено.

б) График функции состоит из двух частей.

1. На интервале $(0, 1)$ график совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x}$ (ветвь гиперболы).
При $x \to 0^+$, значение $y \to +\infty$. Это означает, что ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.
В точке $x=1$ значение функции стремится к $1$. Точка $(1, 1)$ не принадлежит этой части графика (она является "выколотой").
Некоторые контрольные точки для этой части: $(0,5; 2)$, $(0,25; 4)$, $(0,1; 10)$.

2. На промежутке $[1, +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$).
График начинается в точке $(1, \sqrt{1}) = (1, 1)$. Эта точка принадлежит графику.
Некоторые контрольные точки для этой части: $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$.

Объединяя эти две части, мы получаем, что в точке $(1, 1)$ происходит "склейка" графика: выколотая точка от гиперболы заполняется точкой от графика корня. График представляет собой непрерывную кривую, которая сначала убывает на интервале $(0, 1)$ от $+\infty$ до 1, а затем возрастает на луче $[1, +\infty)$ от 1 до $+\infty$.

Ответ: График функции построен на основе анализа его частей: ветви гиперболы $y=1/x$ на $(0,1)$ и ветви параболы $y=\sqrt{x}$ на $[1, \infty)$, которые соединяются в точке $(1,1)$.

в) Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений $x$, для которых функция определена. Согласно условию, функция определена для $x$, удовлетворяющих либо неравенству $0 < x < 1$, либо неравенству $x \ge 1$.

Область определения является объединением этих двух множеств:
$D(f) = (0, 1) \cup [1, +\infty)$.

Это объединение дает нам все положительные числа.
$D(f) = (0, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (0, +\infty)$.

г) Область значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $y=f(x)$. Найдем область значений для каждой части функции.

1. На интервале $x \in (0, 1)$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ является убывающей.
При $x \to 0^+$, $f(x) \to +\infty$.
При $x \to 1^-$, $f(x) \to 1$.
Следовательно, на этом интервале значения функции принадлежат промежутку $(1, +\infty)$.

2. На промежутке $x \in [1, +\infty)$ функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей.
Минимальное значение достигается в точке $x=1$: $f(1) = \sqrt{1} = 1$.
При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$.
Следовательно, на этом промежутке значения функции принадлежат промежутку $[1, +\infty)$.

Общая область значений функции является объединением областей значений ее частей:
$E(f) = (1, +\infty) \cup [1, +\infty)$.

Это объединение равно $[1, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [1, +\infty)$.