Номер 2.3, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.3, страница 7.

2.3 a) $y = x^2 + 2x + 1, x \ge -1;$

б) $y = \frac{1}{x+2}, x < -2;$

В) $y = -x^2 + 6x - 12, x \ge 3;$

Г) $y = \frac{-2}{x+5}, x > -5.$

а)

Заданная функция $y = x^2 + 2x + 1$ является квадратичной. Выражение $x^2 + 2x + 1$ представляет собой полный квадрат двучлена, поэтому функцию можно записать в виде $y = (x+1)^2$.

График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Координаты вершины параболы можно найти из вида $y=a(x-x_0)^2+y_0$. В нашем случае вершина находится в точке, где $x+1=0$, то есть $x = -1$. Значение функции в этой точке равно $y = (-1+1)^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(-1, 0)$.

По условию, область определения функции ограничена неравенством $x \ge -1$. Это означает, что мы рассматриваем ту часть параболы, которая начинается в ее вершине и продолжается вправо. Поскольку вершина является точкой минимума для данной параболы, наименьшее значение функции равно 0. При увеличении $x$ от -1, значение $y$ будет неограниченно возрастать.

Следовательно, множество значений функции — это все числа от 0 включительно и до бесконечности.

Ответ: множество значений функции $y \ge 0$, или в виде интервала $[0; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{1}{x+2}$ с областью определения $x < -2$.

Это рациональная функция, график которой — гипербола, полученная смещением графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево. Вертикальная асимптота графика — прямая $x = -2$, а горизонтальная — $y = 0$.

Согласно условию $x < -2$, мы рассматриваем левую ветвь гиперболы. Для любого значения $x$ из этого промежутка, знаменатель $x+2$ будет отрицательным. Так как числитель равен 1 (положительное число), то значение всей дроби $y$ будет всегда отрицательным.

Рассмотрим поведение функции на границах области определения:

• При $x$, стремящемся к -2 слева ($x \to -2^-$), знаменатель $x+2$ стремится к 0, оставаясь отрицательным. Следовательно, $y \to -\infty$.
• При $x$, стремящемся к $-\infty$, знаменатель $x+2$ также стремится к $-\infty$, а значение функции $y$ стремится к 0, оставаясь отрицательным ($y \to 0^-$).

Таким образом, функция принимает все возможные отрицательные значения.

Ответ: множество значений функции $y < 0$, или в виде интервала $(-\infty; 0)$.

в)

Дана квадратичная функция $y = -x^2 + 6x - 12$ при условии $x \ge 3$.

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1$). Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_в=3$ в уравнение функции: $y_в = -(3)^2 + 6(3) - 12 = -9 + 18 - 12 = -3$. Итак, вершина параболы находится в точке $(3, -3)$.

Область определения функции задана как $x \ge 3$. Это означает, что мы рассматриваем правую ветвь параболы, начиная с ее вершины. Поскольку ветви параболы направлены вниз, вершина является точкой максимума. Максимальное значение функции равно -3 и достигается при $x=3$. При увеличении $x$ от 3, значения $y$ будут уменьшаться.

Следовательно, множество значений функции — это все числа от $-\infty$ до -3 включительно.

Ответ: множество значений функции $y \le -3$, или в виде интервала $(-\infty; -3]$.

г)

Дана функция $y = \frac{-2}{x+5}$ с областью определения $x > -5$.

Это рациональная функция, график которой — гипербола. Вертикальная асимптота — прямая $x=-5$, горизонтальная — $y=0$.

Согласно условию $x > -5$, мы рассматриваем правую ветвь гиперболы. Для любого $x$ из этого промежутка, знаменатель $x+5$ будет положительным. Поскольку числитель равен -2 (отрицательное число), значение функции $y$ будет всегда отрицательным.

Рассмотрим поведение функции на границах области определения:

• При $x$, стремящемся к -5 справа ($x \to -5^+$), знаменатель $x+5$ стремится к 0, оставаясь положительным. Следовательно, $y \to -\infty$.
• При $x$, стремящемся к $+\infty$, знаменатель $x+5$ также стремится к $+\infty$, а значение функции $y$ стремится к 0, оставаясь отрицательным ($y \to 0^-$).

Таким образом, функция принимает все возможные отрицательные значения.

Ответ: множество значений функции $y < 0$, или в виде интервала $(-\infty; 0)$.