Номер 2.6, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.6, страница 8.

2.6 a) $y = x^2 - 8x + 1;$

б) $y = \frac{2x - 4}{x}$, $x > 0;$

В) $y = -2x^2 - 6x + 15;$

Г) $y = \frac{5 - 2x}{1 - x}$, $x < 1.$

а) $y = x^2 - 8x + 1$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Область значений такой функции ограничена снизу ординатой вершины параболы.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ находятся по формулам: $x_v = -\frac{b}{2a}$ и $y_v = y(x_v)$.

В нашем случае $a=1$, $b=-8$, $c=1$.
$x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_v=4$ в уравнение функции:
$y_v = 4^2 - 8 \cdot 4 + 1 = 16 - 32 + 1 = -15$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции равно -15. Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные -15.

Ответ: $E(y) = [-15; +\infty)$.

---

б) $y = \frac{2x - 4}{x}, x > 0$

Преобразуем выражение для функции, разделив числитель почленно на знаменатель:
$y = \frac{2x}{x} - \frac{4}{x} = 2 - \frac{4}{x}$.

Функция задана на интервале $x > 0$. Чтобы определить ее область значений, проанализируем поведение функции на этом интервале. Найдем производную:
$y' = (2 - 4x^{-1})' = -4 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{4}{x^2}$.

Поскольку $x > 0$, то $x^2 > 0$, и, следовательно, производная $y' = \frac{4}{x^2}$ всегда положительна. Это означает, что функция строго возрастает на всей области определения $(0; +\infty)$.

Чтобы найти область значений, найдем пределы функции на границах интервала определения:
При $x \to 0^+$ (справа), $y \to 2 - \frac{4}{0^+} \to 2 - \infty \to -\infty$.
При $x \to +\infty$, $y \to 2 - \frac{4}{\infty} \to 2 - 0 = 2$.

Так как функция непрерывна и строго возрастает на $(0; +\infty)$, она принимает все значения между $-\infty$ и 2 (не включая 2, так как это значение является горизонтальной асимптотой).

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2)$.

---

в) $y = -2x^2 - 6x + 15$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2, он отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Область значений такой функции ограничена сверху ординатой вершины параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-2)} = \frac{6}{-4} = -1.5$.

Найдем ординату вершины (и наибольшее значение функции), подставив $x_v = -1.5$ в уравнение:
$y_v = -2(-1.5)^2 - 6(-1.5) + 15 = -2(2.25) + 9 + 15 = -4.5 + 24 = 19.5$.

Так как ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции равно 19.5. Таким образом, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 19.5.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 19.5]$.

---

г) $y = \frac{5 - 2x}{1 - x}, x < 1$

Преобразуем выражение для функции, выделив целую часть. Для этого можно переписать числитель: $5 - 2x = 3 + 2 - 2x = 3 + 2(1 - x)$.
$y = \frac{3 + 2(1 - x)}{1 - x} = \frac{3}{1 - x} + \frac{2(1 - x)}{1 - x} = 2 + \frac{3}{1 - x}$.

Функция задана на интервале $x < 1$. На этом интервале знаменатель $1 - x$ всегда положителен.
Найдем производную функции:
$y' = (2 + 3(1 - x)^{-1})' = 3 \cdot (-1)(1 - x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{3}{(1 - x)^2}$.

Поскольку $(1 - x)^2$ всегда положителен при $x < 1$, производная $y'$ всегда положительна. Это означает, что функция строго возрастает на интервале $(-\infty; 1)$.

Чтобы найти область значений, найдем пределы функции на границах интервала:
При $x \to 1^-$ (слева), знаменатель $1 - x \to 0^+$, и $y \to 2 + \frac{3}{0^+} \to 2 + \infty \to +\infty$.
При $x \to -\infty$, знаменатель $1 - x \to +\infty$, и $y \to 2 + \frac{3}{+\infty} \to 2 + 0 = 2$.

Так как функция непрерывна и строго возрастает на $(-\infty; 1)$, она принимает все значения от 2 (не включая) до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = (2; +\infty)$.