Номер 2.13, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.13, страница 9.

2.13 $y = \begin{cases} 4 - 2x^2, \text{ если } -1 \leq x \leq 1, \\ x + 1, \text{ если } 1 < x \leq 3. \end{cases}$

Для полного исследования данной кусочно-заданной функции проанализируем её свойства и построим график.

1. Область определения функции

Функция определена для всех значений $x$, указанных в условиях. Первое выражение $y = 4 - 2x^2$ определено на отрезке $[-1, 1]$. Второе выражение $y = x + 1$ определено на полуинтервале $(1, 3]$. Область определения функции $D(y)$ является объединением этих двух промежутков: $D(y) = [-1, 1] \cup (1, 3] = [-1, 3]$.

Ответ: $D(y) = [-1, 3]$.

2. Непрерывность и точки разрыва

Функции $y = 4 - 2x^2$ (парабола) и $y = x + 1$ (прямая) являются непрерывными на всей числовой оси. Поэтому данная функция непрерывна на интервалах $(-1, 1)$ и $(1, 3)$. Осталось исследовать непрерывность в точке "стыка" $x=1$. Найдем значение функции в этой точке. Так как $x=1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, используем первую формулу: $y(1) = 4 - 2(1)^2 = 4 - 2 = 2$. Теперь найдем односторонние пределы в точке $x=1$: - Левосторонний предел (когда $x$ стремится к 1 слева, $x < 1$): $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (4 - 2x^2) = 4 - 2(1)^2 = 2$. - Правосторонний предел (когда $x$ стремится к 1 справа, $x > 1$): $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$. Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=1$ равны между собой, то есть $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^+} y(x) = y(1) = 2$, функция является непрерывной в точке $x=1$. Таким образом, функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: функция непрерывна на всей области определения $[-1, 3]$, точек разрыва нет.

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью ординат (Oy): Для этого подставим $x=0$ в функцию. Так как $0 \in [-1, 1]$, используем первую формулу: $y(0) = 4 - 2(0)^2 = 4$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox): Для этого решим уравнение $y(x)=0$ для каждого участка. 1) На отрезке $[-1, 1]$: $4 - 2x^2 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$. Ни $x = \sqrt{2} \approx 1.414$, ни $x = -\sqrt{2} \approx -1.414$ не принадлежат отрезку $[-1, 1]$. 2) На полуинтервале $(1, 3]$: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$. Это значение не принадлежит полуинтервалу $(1, 3]$. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

Ответ: точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$; точек пересечения с осью Ox нет.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем производную функции для каждого участка: $y' = \begin{cases} (4 - 2x^2)' = -4x, & \text{если } -1 < x < 1 \\ (x + 1)' = 1, & \text{если } 1 < x < 3 \end{cases}$ Критические точки - это точки, где производная равна нулю или не существует. - $y' = 0$: $-4x=0 \Rightarrow x=0$. Эта точка принадлежит интервалу $(-1, 1)$. - $y'$ не существует в точке $x=1$, так как левая производная $y'_-(1) = -4$ не равна правой производной $y'_+(1) = 1$. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения делится критическими точками $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, 3)$: - При $x \in (-1, 0)$: $y' = -4x > 0$, функция возрастает. - При $x \in (0, 1)$: $y' = -4x < 0$, функция убывает. - При $x \in (1, 3)$: $y' = 1 > 0$, функция возрастает. В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, $x=0$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 4$. В точке $x=1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, $x=1$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = 2$. Найдем значения на концах области определения: $y(-1) = 4 - 2(-1)^2 = 2$. $y(3) = 3 + 1 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, 3]$, убывает на промежутке $[0, 1]$. Точка локального максимума $(0, 4)$, точка локального минимума $(1, 2)$.

5. Область значений функции

Из анализа на экстремумы следует, что наименьшее значение функции на всей области определения равно 2 (достигается в точках $x=-1$ и $x=1$), а наибольшее значение равно 4 (достигается в точках $x=0$ и $x=3$). Так как функция непрерывна, она принимает все значения между наименьшим и наибольшим.

Ответ: $E(y) = [2, 4]$.

6. Построение графика

На основе проведенного анализа построим график функции. - На отрезке $[-1, 1]$ график является частью параболы $y = 4 - 2x^2$, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 4)$. Крайние точки этого участка: $(-1, 2)$ и $(1, 2)$. - На полуинтервале $(1, 3]$ график является отрезком прямой $y = x + 1$, который соединяет точку $(1, 2)$ с точкой $(3, 4)$. - В точке $(1, 2)$ парабола плавно переходит в прямую, образуя "угол" (излом), так как функция непрерывна, но ее производная в этой точке не существует.
Краткое описание графика: График начинается в точке $(-1, 2)$, поднимается по кривой до своего максимума в точке $(0, 4)$, затем опускается до точки $(1, 2)$. Из этой точки он продолжает движение вверх уже по прямой линии до точки $(3, 4)$, где и заканчивается.

Ответ: График функции состоит из участка параболы $y=4-2x^2$ на отрезке $[-1, 1]$ и отрезка прямой $y=x+1$ на полуинтервале $(1, 3]$.