Номер 3.3, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§3. Обратная функция. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 3.3, страница 9.

Для заданной функции найдите обратную; постройте график заданной функции и обратной функции:

3.3 а) $y = x^2, x \ge 0;$

б) $y = \sqrt{x};$

в) $y = (x - 1)^2, x \le 1;$

г) $y = \sqrt{-x}.$

а) Для функции $y = x^2$ с областью определения $x \ge 0$ найдем обратную функцию и построим графики.

1. Нахождение обратной функции.
Исходная функция задана как $y = x^2$.
Область определения $D(f) = [0, +\infty)$.
На этой области функция является монотонно возрастающей, а значит, обратимой.
Область значений $E(f)$: поскольку $x \geq 0$, то $y = x^2 \geq 0$. Следовательно, $E(f) = [0, +\infty)$.
Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$x = y^2$
Теперь выразим $y$ из этого уравнения:
$y = \pm\sqrt{x}$
Область значений обратной функции должна совпадать с областью определения исходной функции, то есть $E(f^{-1}) = D(f) = [0, +\infty)$. Это означает, что $y$ должен быть неотрицательным. Поэтому мы выбираем знак "плюс":
$y = \sqrt{x}$.
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.

2. Построение графиков.
График функции $y = x^2$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке (0, 0).
График обратной функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричная исходной относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \sqrt{x}$.

б) Для функции $y = \sqrt{x}$ найдем обратную функцию и построим графики.

1. Нахождение обратной функции.
Исходная функция: $y = \sqrt{x}$.
Область определения $D(f)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, +\infty)$.
Область значений $E(f)$: арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. $E(f) = [0, +\infty)$.
Функция монотонно возрастает на своей области определения, значит, она обратима.
Поменяем местами $x$ и $y$:
$x = \sqrt{y}$
Выразим $y$, возведя обе части в квадрат:
$y = x^2$
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ равна области значений исходной $E(f)$, то есть $D(f^{-1}) = [0, +\infty)$. Таким образом, обратная функция: $y = x^2$ при $x \ge 0$.

2. Построение графиков.
Графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2, x \ge 0$ являются взаимно обратными. Их построение аналогично предыдущему пункту, только теперь $y = \sqrt{x}$ является исходной функцией, а $y = x^2, x \ge 0$ - обратной. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = x^2, x \geq 0$.

в) Для функции $y = (x - 1)^2$ с областью определения $x \le 1$ найдем обратную функцию и построим графики.

1. Нахождение обратной функции.
Исходная функция: $y = (x - 1)^2$.
Область определения $D(f) = (-\infty, 1]$.
На этой области функция является монотонно убывающей, а значит, обратимой.
Область значений $E(f)$: так как $(x-1)^2$ всегда неотрицательно, $E(f) = [0, +\infty)$.
Поменяем местами $x$ и $y$ для нахождения обратной функции:
$x = (y - 1)^2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\sqrt{x} = |y - 1|$
Область значений обратной функции должна совпадать с областью определения исходной: $E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty, 1]$. Это значит, что $y \le 1$, следовательно $y - 1 \le 0$.
Поэтому $|y - 1| = -(y - 1) = 1 - y$.
$\sqrt{x} = 1 - y$
Выражаем $y$:
$y = 1 - \sqrt{x}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.

2. Построение графиков.
График функции $y = (x - 1)^2$ при $x \le 1$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке (1, 0).
График обратной функции $y = 1 - \sqrt{x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ отражением относительно оси Ох и сдвигом на 1 единицу вверх. Его начальная точка — (0, 1).
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 1 - \sqrt{x}$.

г) Для функции $y = \sqrt{-x}$ найдем обратную функцию и построим графики.

1. Нахождение обратной функции.
Исходная функция: $y = \sqrt{-x}$.
Область определения $D(f)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$. Итак, $D(f) = (-\infty, 0]$.
Область значений $E(f) = [0, +\infty)$.
Функция является монотонно убывающей на своей области определения, значит, она обратима.
Поменяем местами $x$ и $y$:
$x = \sqrt{-y}$
Возведем в квадрат:
$x^2 = -y$
$y = -x^2$
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ равна области значений исходной $E(f)$, то есть $D(f^{-1}) = [0, +\infty)$.
Таким образом, обратная функция: $y = -x^2$ при $x \ge 0$.

2. Построение графиков.
График функции $y = \sqrt{-x}$ — это ветвь параболы, симметричная графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси Оу. Её вершина в (0,0), и она идет влево и вверх.
График обратной функции $y = -x^2, x \ge 0$ — это правая ветвь параболы, направленной ветвями вниз, с вершиной в точке (0, 0).
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = -x^2, x \geq 0$.