Номер 4.5, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§4. Числовая окружность. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 4.5, страница 12.

4.5 a) $\frac{\pi}{2}$;

б) $\pi$;

В) $\frac{3\pi}{2}$;

Г) $2\pi$.

Поскольку в задании не указано, что именно нужно сделать с данными углами, наиболее вероятной задачей является нахождение значений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) для этих углов. Эти углы являются граничными (квадрантными), их значения определяются по точкам пересечения единичной окружности с осями координат.

а) Угол, равный $ \frac{\pi}{2} $ радиан, соответствует $ 90^{\circ} $. На единичной окружности этому углу соответствует точка на положительной части оси OY с координатами $ (0, 1) $. Используя определения тригонометрических функций $ \sin(\alpha) = y $ и $ \cos(\alpha) = x $, находим:
$ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
$ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $
$ \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{0} $, значение не определено, так как деление на ноль невозможно.
$ \cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0 $
Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $, $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $, $ \cot(\frac{\pi}{2}) = 0 $, $ \tan(\frac{\pi}{2}) $ не определен.

б) Угол, равный $ \pi $ радиан, соответствует $ 180^{\circ} $. На единичной окружности этому углу соответствует точка на отрицательной части оси OX с координатами $ (-1, 0) $. Находим значения тригонометрических функций:
$ \sin(\pi) = 0 $
$ \cos(\pi) = -1 $
$ \tan(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)} = \frac{0}{-1} = 0 $
$ \cot(\pi) = \frac{\cos(\pi)}{\sin(\pi)} = \frac{-1}{0} $, значение не определено.
Ответ: $ \sin(\pi) = 0 $, $ \cos(\pi) = -1 $, $ \tan(\pi) = 0 $, $ \cot(\pi) $ не определен.

в) Угол, равный $ \frac{3\pi}{2} $ радиан, соответствует $ 270^{\circ} $. На единичной окружности этому углу соответствует точка на отрицательной части оси OY с координатами $ (0, -1) $. Находим значения тригонометрических функций:
$ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $
$ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 $
$ \tan\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{\sin(\frac{3\pi}{2})}{\cos(\frac{3\pi}{2})} = \frac{-1}{0} $, значение не определено.
$ \cot\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{\cos(\frac{3\pi}{2})}{\sin(\frac{3\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0 $
Ответ: $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $, $ \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 $, $ \cot(\frac{3\pi}{2}) = 0 $, $ \tan(\frac{3\pi}{2}) $ не определен.

г) Угол, равный $ 2\pi $ радиан, соответствует $ 360^{\circ} $. Этот угол является полным оборотом и совпадает с углом $ 0 $ радиан. На единичной окружности ему соответствует точка на положительной части оси OX с координатами $ (1, 0) $. Находим значения тригонометрических функций:
$ \sin(2\pi) = 0 $
$ \cos(2\pi) = 1 $
$ \tan(2\pi) = \frac{\sin(2\pi)}{\cos(2\pi)} = \frac{0}{1} = 0 $
$ \cot(2\pi) = \frac{\cos(2\pi)}{\sin(2\pi)} = \frac{1}{0} $, значение не определено.
Ответ: $ \sin(2\pi) = 0 $, $ \cos(2\pi) = 1 $, $ \tan(2\pi) = 0 $, $ \cot(2\pi) $ не определен.