Номер 4.12, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§4. Числовая окружность. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 4.12, страница 12.

4.12 Что вы можете сказать о взаимном расположении точек, соответствующих заданным числам, на координатной прямой и на числовой окружности:

а) $t$ и $-t$;

б) $t$ и $t + 2\pi k, k \in Z$;

в) $t$ и $t + \pi$;

г) $t + \pi$ и $t - \pi$?

а) t и -t

На координатной прямой:
Точки, соответствующие числам $t$ и $-t$, расположены на одинаковом расстоянии $|t|$ от начала координат (точки 0), но в противоположных направлениях. Таким образом, эти точки симметричны относительно начала координат. Исключение составляет случай, когда $t = 0$, тогда точки $t$ и $-t$ совпадают в начале координат. Расстояние между точками равно $|t - (-t)| = |2t|$.

На числовой окружности:
Точке с координатой $t$ соответствует точка на окружности $P_t(\cos t, \sin t)$. Точке с координатой $-t$ соответствует точка $P_{-t}(\cos(-t), \sin(-t))$. Используя свойства тригонометрических функций, получаем $P_{-t}(\cos t, -\sin t)$. Точки $(\cos t, \sin t)$ и $(\cos t, -\sin t)$ имеют одинаковую абсциссу и противоположные ординаты. Следовательно, эти точки симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox). Если $t = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $\sin t = 0$, и точки совпадают (в точках (1, 0) или (-1, 0)).

Ответ: На координатной прямой точки симметричны относительно начала координат (при $t \neq 0$). На числовой окружности точки симметричны относительно оси абсцисс (при $t \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$).

б) t и t + 2πk, k ∈ Z

На координатной прямой:
Если $k = 0$, то числа $t$ и $t + 2\pi \cdot 0$ равны, и соответствующие им точки совпадают. Если $k \neq 0$, то это разные числа, и им соответствуют разные точки. Точка $t + 2\pi k$ смещена относительно точки $t$ на расстояние $|2\pi k|$ вправо (если $k > 0$) или влево (если $k < 0$).

На числовой окружности:
Длина числовой окружности равна $2\pi$. Число $2\pi k$ соответствует $k$ полным оборотам по окружности (против часовой стрелки при $k > 0$ и по часовой стрелке при $k < 0$). Добавление $2\pi k$ к числу $t$ означает, что мы, выйдя из точки, соответствующей $t$, совершаем $k$ полных оборотов и возвращаемся в ту же самую точку. Таким образом, числа $t$ и $t + 2\pi k$ при любом целом $k$ соответствуют одной и той же точке на числовой окружности.

Ответ: На координатной прямой это разные точки (при $k \neq 0$), расположенные на расстоянии $|2\pi k|$ друг от друга. На числовой окружности эти точки совпадают.

в) t и t + π

На координатной прямой:
Это две различные точки. Точка, соответствующая числу $t + \pi$, расположена правее точки, соответствующей числу $t$, на расстоянии $\pi$.

На числовой окружности:
Число $\pi$ соответствует половине полного оборота по окружности ($180^\circ$). Чтобы из точки $t$ попасть в точку $t+\pi$, нужно повернуться на пол-оборота. Точки, отличающиеся на $\pi$, являются диаметрально противоположными. Если точке $t$ соответствуют координаты $(\cos t, \sin t)$, то точке $t+\pi$ соответствуют координаты $(\cos(t+\pi), \sin(t+\pi)) = (-\cos t, -\sin t)$. Эти точки симметричны относительно начала координат.

Ответ: На координатной прямой это две различные точки, расстояние между которыми равно $\pi$. На числовой окружности это две диаметрально противоположные точки (симметричные относительно центра окружности).

г) t + π и t - π

На координатной прямой:
Это две различные точки. Расстояние между ними равно $|(t + \pi) - (t - \pi)| = |2\pi|$. Эти точки расположены симметрично относительно точки, соответствующей числу $t$.

На числовой окружности:
Рассмотрим разность этих двух чисел: $(t + \pi) - (t - \pi) = 2\pi$. Так как разность чисел равна $2\pi$, что соответствует одному полному обороту по окружности, то эти числа определяют одну и ту же точку на числовой окружности. Эта точка, как было показано в пункте в), является диаметрально противоположной точке, соответствующей числу $t$.

Ответ: На координатной прямой это две различные точки, расстояние между которыми равно $2\pi$. На числовой окружности эти точки совпадают.