Номер 4.19, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §4. Числовая окружность - номер 4.19, страница 13.

Условие.

4.19 а) $AM$;

б) $CM$;

в) $MA$;

г) $MC$.

($M$ – середина первой четверти.)

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения данной задачи используется понятие единичной тригонометрической окружности. Это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным $1$. Длина дуги на такой окружности численно равна величине центрального угла, который ее стягивает, выраженной в радианах.

В условии сказано, что "M — середина первой четверти". Первая четверть на тригонометрической окружности соответствует дуге от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан. Следовательно, точка M делит эту дугу пополам, и соответствующий ей угол равен $\alpha_M = \frac{0 + \pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$. Точка A является начальной точкой отсчета углов, ей соответствует угол $\alpha_A = 0$. Точка C находится на противоположной стороне окружности от точки A по горизонтали, ей соответствует угол $\alpha_C = \pi$. Обозначения AM, CM и т.д. в задаче представляют собой длины соответствующих дуг на единичной окружности.

а) AM

Длина дуги AM равна модулю разности углов, соответствующих точкам M и A. Это кратчайшее расстояние по дуге окружности между этими точками.

Длина дуги $AM = |\alpha_M - \alpha_A| = |\frac{\pi}{4} - 0| = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) CM

Длина дуги CM равна модулю разности углов, соответствующих точкам C и M. Мы ищем наименьшую дугу, соединяющую эти точки.

Длина дуги $CM = |\alpha_C - \alpha_M| = |\pi - \frac{\pi}{4}| = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

в) MA

Длина дуги MA равна длине дуги AM, поскольку длина дуги между двумя точками не зависит от порядка точек (направления измерения).

Длина дуги $MA = \text{длина дуги } AM = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

г) MC

Аналогично, длина дуги MC равна длине дуги CM. Это та же самая дуга, просто названная в другом порядке.

Длина дуги $MC = \text{длина дуги } CM = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.