Номер 5.3, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.3, страница 14.

5.3 a) $M\left(\frac{15\pi}{4}\right);$

б) $M\left(\frac{16\pi}{3}\right);$

В) $M\left(-\frac{31\pi}{4}\right);$

Г) $M\left(-\frac{26\pi}{3}\right).$

а) $M\left(\frac{15\pi}{4}\right)$

Чтобы определить, в какой координатной четверти находится точка на единичной окружности, соответствующая данному углу, необходимо найти эквивалентный угол в промежутке от $0$ до $2\pi$. Это делается путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов, равных $2\pi$.

Для угла $\alpha = \frac{15\pi}{4}$ вычтем из него полные обороты. Один полный оборот равен $2\pi = \frac{8\pi}{4}$.

Представим угол в виде смешанной дроби: $\frac{15\pi}{4} = 3\frac{3}{4}\pi = 2\pi + 1\frac{3}{4}\pi = 2\pi + \frac{7\pi}{4}$.

Это означает, что точка совершает один полный оборот ($2\pi$) и дополнительно поворачивается на угол $\frac{7\pi}{4}$. Таким образом, положение точки $M\left(\frac{15\pi}{4}\right)$ совпадает с положением точки $M\left(\frac{7\pi}{4}\right)$.

Теперь определим, в какой четверти находится угол $\frac{7\pi}{4}$. Сравним его с границами четвертей:

• I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$
• II четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$
• III четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$
• IV четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$

Так как $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$ и $2\pi = \frac{8\pi}{4}$, то выполняется неравенство $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$.

Следовательно, точка находится в IV координатной четверти.

Ответ: IV четверть.

б) $M\left(\frac{16\pi}{3}\right)$

Для угла $\alpha = \frac{16\pi}{3}$ найдем эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$. Один полный оборот равен $2\pi = \frac{6\pi}{3}$.

Выделим целое число оборотов: $\frac{16\pi}{3} = \frac{12\pi + 4\pi}{3} = \frac{12\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 4\pi + \frac{4\pi}{3} = 2 \cdot (2\pi) + \frac{4\pi}{3}$.

Положение точки $M\left(\frac{16\pi}{3}\right)$ совпадает с положением точки $M\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

Сравним угол $\frac{4\pi}{3}$ с границами четвертей:

Так как $\pi = \frac{3\pi}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{3}$, то выполняется неравенство $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$.

Следовательно, точка находится в III координатной четверти.

Ответ: III четверть.

в) $M\left(-\frac{31\pi}{4}\right)$

Для отрицательного угла $\alpha = -\frac{31\pi}{4}$ необходимо прибавить целое число полных оборотов, чтобы получить эквивалентный положительный угол в промежутке $[0, 2\pi)$. Один оборот равен $2\pi = \frac{8\pi}{4}$.

Прибавим к углу такое количество оборотов, чтобы результат стал положительным. $-\frac{31}{4} = -7.75$, значит, нужно прибавить как минимум 4 полных оборота ($4 \cdot 2\pi = 8\pi$).

$8\pi = \frac{32\pi}{4}$.

$-\frac{31\pi}{4} + 8\pi = -\frac{31\pi}{4} + \frac{32\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Положение точки $M\left(-\frac{31\pi}{4}\right)$ совпадает с положением точки $M\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Сравним угол $\frac{\pi}{4}$ с границами четвертей:

Так как $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в I координатной четверти.

Ответ: I четверть.

г) $M\left(-\frac{26\pi}{3}\right)$

Для отрицательного угла $\alpha = -\frac{26\pi}{3}$ найдем эквивалентный положительный угол, прибавляя полные обороты $2\pi = \frac{6\pi}{3}$.

$-\frac{26}{3} \approx -8.67$, значит, нужно прибавить как минимум 5 полных оборотов ($5 \cdot 2\pi = 10\pi$).

$10\pi = \frac{30\pi}{3}$.

$-\frac{26\pi}{3} + 10\pi = -\frac{26\pi}{3} + \frac{30\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Положение точки $M\left(-\frac{26\pi}{3}\right)$ совпадает с положением точки $M\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

Как мы уже определили в пункте б), угол $\frac{4\pi}{3}$ удовлетворяет неравенству $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$.

Следовательно, точка находится в III координатной четверти.

Ответ: III четверть.