Номер 4.22, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§4. Числовая окружность. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 4.22, страница 13.

4.22 а) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$

б) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k;$

в) $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k;$

г) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k.$

а) Данное множество решений $t$ задано неравенством $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим это неравенство на единичной окружности при $k=0$. Получаем интервал $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$.Угол $t = -\frac{\pi}{2}$ соответствует точке $(0, -1)$, а угол $t = \frac{\pi}{2}$ — точке $(0, 1)$. Интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ представляет собой дугу единичной окружности, расположенную в первой и четвертой координатных четвертях, то есть правую половину окружности.Для любой точки на этой дуге ее абсцисса (координата $x$) положительна. Так как на единичной окружности абсцисса точки, соответствующей углу $t$, равна $\cos(t)$, то для всех $t$ из данного интервала выполняется условие $\cos(t) > 0$.В граничных точках $t = -\frac{\pi}{2}$ и $t = \frac{\pi}{2}$ косинус равен нулю ($\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$). Строгое неравенство в условии соответствует тому, что эти точки не включены в решение.Следовательно, данное множество является решением неравенства $\cos(t) > 0$.

Ответ: $\cos(t) > 0$.

б) Данное множество решений $t$ задано неравенством $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим интервал при $k=0$: $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{7\pi}{6}$.Найдем значения синуса в граничных точках интервала:$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.$\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.Обе граничные точки соответствуют ординате (координате $y$), равной $-\frac{1}{2}$.Интервал $(-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$ представляет собой дугу, которая начинается в четвертой четверти, проходит через первую и вторую четверти и заканчивается в третьей.Возьмем любую точку внутри этого интервала, например, $t=0$. $\sin(0)=0$. Так как $0 > -\frac{1}{2}$, можно предположить, что неравенство имеет вид $\sin(t) > -\frac{1}{2}$.Действительно, для всех углов $t$ в интервале $(-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$ ордината соответствующей точки на единичной окружности больше, чем $-\frac{1}{2}$.Таким образом, данное множество является решением неравенства $\sin(t) > -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\sin(t) > -\frac{1}{2}$.

в) Данное множество решений $t$ задано неравенством $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим интервал при $k=0$: $-\frac{3\pi}{4} < t < \frac{3\pi}{4}$.Найдем значения косинуса в граничных точках интервала:$\cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.$\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Обе граничные точки соответствуют абсциссе (координате $x$), равной $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.Интервал $(-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ представляет собой дугу, которая начинается в третьей четверти, проходит через четвертую и первую четверти и заканчивается во второй.Возьмем любую точку внутри этого интервала, например, $t=0$. $\cos(0)=1$. Так как $1 > -\frac{\sqrt{2}}{2}$, можно предположить, что неравенство имеет вид $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Действительно, для всех углов $t$ в интервале $(-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ абсцисса соответствующей точки на единичной окружности больше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.Таким образом, данное множество является решением неравенства $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Данное множество решений $t$ задано неравенством $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим интервал при $k=0$: $-\frac{\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$.Проверим значения синуса и косинуса в граничных точках.$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.Поскольку значения и синуса, и косинуса в конечных точках интервала различны, это решение не соответствует простому неравенству вида $\sin(t) > a$ или $\cos(t) > a$.Однако, найдем длину этого интервала: $L = \frac{2\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$.Интервал решения длиной $\pi$ характерен для неравенств вида $\sin(u) > 0$, $\sin(u) < 0$, $\cos(u) > 0$ или $\cos(u) < 0$.Предположим, что исходное неравенство имело вид $\sin(t+\alpha) > 0$.Решением неравенства $\sin(u) > 0$ является интервал $2\pi k < u < \pi + 2\pi k$.Подставив $u = t+\alpha$, получаем: $2\pi k < t+\alpha < \pi + 2\pi k$.Выразим $t$: $-\alpha + 2\pi k < t < \pi - \alpha + 2\pi k$.Сравним этот результат с данным в условии интервалом $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.Приравнивая левые и правые границы, получаем систему:$-\alpha = -\frac{\pi}{3}$$\pi - \alpha = \frac{2\pi}{3}$Из первого уравнения следует, что $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Подставим это значение во второе уравнение для проверки: $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Равенство верное.Следовательно, исходное неравенство было $\sin(t + \frac{\pi}{3}) > 0$.

Ответ: $\sin(t + \frac{\pi}{3}) > 0$.