Номер 5.6, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.6, страница 14.

Найдите на числовой окружности точки с данной ординатой и запишите, каким числам t они соответствуют:

5.6 а) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $y = \frac{1}{2}$;

в) $y = 0$;

г) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Задача состоит в том, чтобы найти на числовой (тригонометрической) окружности точки с заданной ординатой $y$ и определить, каким числам $t$ они соответствуют. Ордината точки на числовой окружности равна синусу числа $t$, то есть $y = \sin(t)$. Следовательно, для каждого пункта нам нужно решить тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$.

а) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Нам нужно решить уравнение $\sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На числовой окружности есть две точки, у которых ордината равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки расположены в I и II координатных четвертях, так как синус положителен.

Первая точка (в I четверти) соответствует числу $t_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Вторая точка (во II четверти) симметрична первой относительно оси ординат и соответствует числу $t_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Чтобы найти все числа $t$, соответствующие этим точкам, нужно к найденным значениям прибавить целое число полных оборотов, то есть $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, получаем две серии решений:

$t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{1}{2}$

Нам нужно решить уравнение $\sin(t) = \frac{1}{2}$.

На числовой окружности есть две точки с ординатой $\frac{1}{2}$. Они находятся в I и II четвертях.

Первая точка (в I четверти) соответствует числу $t_1 = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Вторая точка (во II четверти) соответствует числу $t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Общие решения для всех таких чисел $t$ получаются добавлением $2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$):

$t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = 0$

Нам нужно решить уравнение $\sin(t) = 0$.

Точки на числовой окружности с ординатой $0$ лежат на оси абсцисс (оси $Ox$).

Эти точки соответствуют числам $t = 0$ и $t = \pi$ на основном круге.

Все решения можно объединить в одну серию, так как они повторяются через каждый полуоборот ($\pi$).

Общее решение: $t = 0 + \pi k = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Нам нужно решить уравнение $\sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

На числовой окружности есть две точки с ординатой $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Они находятся в I и II четвертях.

Первая точка (в I четверти) соответствует числу $t_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Вторая точка (во II четверти) соответствует числу $t_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Общие решения для всех таких чисел $t$ получаются добавлением $2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$):

$t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.