Номер 5.13, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.13, страница 15.

5.13 a) $M(12);$

б) $N(15);$

в) $P(52);$

г) $Q(100).$

а) В данном задании требуется найти множество M(12), которое, по всей видимости, представляет собой совокупность всех натуральных делителей числа 12. Чтобы найти все делители, можно разложить число 12 на простые множители.

Разложение числа 12 на простые множители:

$12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1$

Делителями числа 12 будут все возможные произведения этих простых множителей в степенях от 0 до тех, что указаны в разложении. Делители имеют вид $2^a \times 3^b$, где $a \in \{0, 1, 2\}$ и $b \in \{0, 1\}$.

Перечислим все комбинации:

$2^0 \times 3^0 = 1 \times 1 = 1$

$2^1 \times 3^0 = 2 \times 1 = 2$

$2^2 \times 3^0 = 4 \times 1 = 4$

$2^0 \times 3^1 = 1 \times 3 = 3$

$2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6$

$2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$

Расположив делители в порядке возрастания, получаем искомое множество.

Ответ: M(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

б) Найдем множество N(15), состоящее из всех натуральных делителей числа 15.

Разложим число 15 на простые множители:

$15 = 3 \times 5 = 3^1 \times 5^1$

Делители имеют вид $3^a \times 5^b$, где $a \in \{0, 1\}$ и $b \in \{0, 1\}$.

Перечислим их:

$3^0 \times 5^0 = 1$

$3^1 \times 5^0 = 3$

$3^0 \times 5^1 = 5$

$3^1 \times 5^1 = 15$

Таким образом, множество делителей числа 15 найдено.

Ответ: N(15) = {1, 3, 5, 15}.

в) Найдем множество P(52), состоящее из всех натуральных делителей числа 52.

Разложим число 52 на простые множители:

$52 = 2 \times 26 = 2 \times 2 \times 13 = 2^2 \times 13^1$

Делители имеют вид $2^a \times 13^b$, где $a \in \{0, 1, 2\}$ и $b \in \{0, 1\}$.

Перечислим их:

$2^0 \times 13^0 = 1$

$2^1 \times 13^0 = 2$

$2^2 \times 13^0 = 4$

$2^0 \times 13^1 = 13$

$2^1 \times 13^1 = 26$

$2^2 \times 13^1 = 52$

Расположив делители в порядке возрастания, получаем искомое множество.

Ответ: P(52) = {1, 2, 4, 13, 26, 52}.

г) Найдем множество Q(100), состоящее из всех натуральных делителей числа 100.

Разложим число 100 на простые множители:

$100 = 10 \times 10 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 5^2$

Делители имеют вид $2^a \times 5^b$, где $a \in \{0, 1, 2\}$ и $b \in \{0, 1, 2\}$.

Перечислим их, группируя по степени множителя 5:

При $b=0: 2^0 \times 5^0 = 1, 2^1 \times 5^0 = 2, 2^2 \times 5^0 = 4$

При $b=1: 2^0 \times 5^1 = 5, 2^1 \times 5^1 = 10, 2^2 \times 5^1 = 20$

При $b=2: 2^0 \times 5^2 = 25, 2^1 \times 5^2 = 50, 2^2 \times 5^2 = 100$

Расположив все делители в порядке возрастания, получаем полное множество.

Ответ: Q(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.