Номер 5.17, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.17, страница 16.

5.17 a) $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $y > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $y \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $y \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку в условии не указано, что представляет собой переменная y, но значения в неравенствах являются табличными для тригонометрических функций, будем решать задачу в предположении, что y — это либо $\sin(t)$, либо $\cos(t)$. Решим неравенства для обоих случаев, где t — искомый угол, а $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

а) $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Случай 1: $y = \sin(t)$
Решаем неравенство $\sin(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$. Сначала найдем углы, для которых $\sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это точки, ордината которых равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки соответствуют углам $t_1 = \frac{\pi}{4}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Неравенство $\sin(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для всех точек единичной окружности, которые лежат ниже прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга, начинающаяся в точке $\frac{3\pi}{4}$ и заканчивающаяся в точке $\frac{\pi}{4}$ следующего оборота ($2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$).
С учетом периодичности, общее решение: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$.

Случай 2: $y = \cos(t)$
Решаем неравенство $\cos(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$. Углы, для которых $\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, равны $t_1 = \frac{\pi}{4}$ и $t_2 = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$).
Неравенство $\cos(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для точек единичной окружности, которые лежат левее прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$ против часовой стрелки.
С учетом периодичности, общее решение: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$.

Ответ: для $y = \sin(t)$ решение $t \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k)$; для $y = \cos(t)$ решение $t \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Случай 1: $y = \sin(t)$
Решаем неравенство $\sin(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Углы, для которых $\sin(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, равны $t_1 = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$) и $t_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4}$.
Неравенство выполняется для точек окружности, лежащих выше прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$ против часовой стрелки.
Общее решение: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Случай 2: $y = \cos(t)$
Решаем неравенство $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Углы, для которых $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, равны $t_1 = \frac{3\pi}{4}$ и $t_2 = -\frac{3\pi}{4}$ (или $\frac{5\pi}{4}$).
Неравенство выполняется для точек окружности, лежащих правее прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $-\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$ против часовой стрелки.
Общее решение: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Ответ: для $y = \sin(t)$ решение $t \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k)$; для $y = \cos(t)$ решение $t \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Случай 1: $y = \sin(t)$
Решаем неравенство $\sin(t) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Углы, для которых $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $t_1 = -\frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3}$ (или $-\frac{2\pi}{3}$).
Неравенство выполняется для точек окружности, лежащих на прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ или ниже нее. Это дуга от $-\frac{2\pi}{3}$ до $-\frac{\pi}{3}$ против часовой стрелки.
Общее решение: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Случай 2: $y = \cos(t)$
Решаем неравенство $\cos(t) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Углы, для которых $\cos(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $t_1 = \frac{5\pi}{6}$ и $t_2 = -\frac{5\pi}{6}$ (или $\frac{7\pi}{6}$).
Неравенство выполняется для точек окружности, лежащих на прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ или левее нее. Это дуга от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$ против часовой стрелки.
Общее решение: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: для $y = \sin(t)$ решение $t \in [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, -\frac{\pi}{3} + 2\pi k]$; для $y = \cos(t)$ решение $t \in [\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $y \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

Случай 1: $y = \sin(t)$
Решаем неравенство $\sin(t) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$. Углы, для которых $\sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Неравенство выполняется для точек окружности, лежащих на прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или выше нее. Это дуга от $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$ против часовой стрелки.
Общее решение: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Случай 2: $y = \cos(t)$
Решаем неравенство $\cos(t) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$. Углы, для которых $\cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $t_1 = \frac{\pi}{6}$ и $t_2 = -\frac{\pi}{6}$.
Неравенство выполняется для точек окружности, лежащих на прямой $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или правее нее. Это дуга от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ против часовой стрелки.
Общее решение: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: для $y = \sin(t)$ решение $t \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k]$; для $y = \cos(t)$ решение $t \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.