Номер 5.16, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.16, страница 16.

5.16 a) $y > 0$;

б) $y < \frac{1}{2}$;

в) $y > \frac{1}{2}$;

г) $y < 0$.

Для решения данных неравенств необходимо знать функцию $y$. Предположим, что речь идет о функции $y = \sin x \cos x$, так как это соответствует заданию 5.16 из распространенных задачников по алгебре и началам анализа.
Сначала преобразуем функцию, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$y = \sin x \cos x = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) = \frac{1}{2} \sin(2x)$.

Теперь решим каждое неравенство.

а)

Решим неравенство $y > 0$.

$\frac{1}{2} \sin(2x) > 0$

$\sin(2x) > 0$

Синус положителен, когда его аргумент находится в интервале от $0$ до $\pi$ (с учетом периодичности). Таким образом, для аргумента $2x$ имеем:

$2\pi k < 2x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 2:

$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $y < \frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2} \sin(2x) < \frac{1}{2}$

$\sin(2x) < 1$

Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$. Неравенство $\sin(2x) < 1$ справедливо для всех значений $x$, кроме тех, для которых $\sin(2x) = 1$.

Найдем, когда $\sin(2x) = 1$:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, решение неравенства — это все действительные числа, за исключением найденных точек.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $y > \frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2} \sin(2x) > \frac{1}{2}$

$\sin(2x) > 1$

Поскольку максимальное значение функции синус равно 1, не существует таких значений $x$, при которых $\sin(2x)$ был бы больше 1. Таким образом, у данного неравенства нет решений.

Ответ: решений нет.

г)

Решим неравенство $y < 0$.

$\frac{1}{2} \sin(2x) < 0$

$\sin(2x) < 0$

Синус отрицателен, когда его аргумент находится в интервале от $\pi$ до $2\pi$ (с учетом периодичности). Таким образом, для аргумента $2x$ имеем:

$\pi + 2\pi k < 2x < 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 2:

$\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.