Номер 5.10, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.10, страница 15.

5.10 a) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x < 0;$

Б) $y = \frac{1}{2}, x < 0;$

В) $y = \frac{1}{2}, x > 0;$

Г) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x > 0.$

а) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x < 0$

В данной задаче требуется найти все такие числа $t$, для которых точка $P(t)$ на единичной окружности имеет ординату $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и абсциссу $x < 0$. В тригонометрических терминах это означает, что нужно решить систему условий: $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(t) < 0$.

Сначала решим уравнение $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Значения синуса отрицательны в III и IV координатных четвертях. Табличные значения для синуса дают нам углы $t_1 = \frac{4\pi}{3}$ (III четверть) и $t_2 = \frac{5\pi}{3}$ (IV четверть). Общее решение этого уравнения можно записать в виде двух серий: $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь учтем второе условие: $\cos(t) < 0$. Косинус отрицателен во II и III координатных четвертях. Из двух найденных серий решений мы должны выбрать ту, которая соответствует III четверти. Это серия $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.

Ответ: $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{1}{2}, x < 0$

Здесь мы ищем числа $t$, для которых $\sin(t) = \frac{1}{2}$ и $\cos(t) < 0$.

Решаем уравнение $\sin(t) = \frac{1}{2}$. Синус положителен в I и II координатных четвертях. Соответствующие углы на интервале $[0, 2\pi)$ — это $t_1 = \frac{\pi}{6}$ (I четверть) и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (II четверть). Общее решение: $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Условие $\cos(t) < 0$ выполняется для углов во II и III четвертях. Нам нужно выбрать решение, которое находится во II четверти. Это серия $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \frac{1}{2}, x > 0$

В этом случае необходимо найти числа $t$, для которых $\sin(t) = \frac{1}{2}$ и $\cos(t) > 0$.

Решения уравнения $\sin(t) = \frac{1}{2}$ нам уже известны из предыдущего пункта: $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти точки лежат в I и II четвертях.

Условие $\cos(t) > 0$ выполняется для углов в I и IV координатных четвертях. Совмещая условия, мы ищем угол, который лежит в I четверти. Из двух серий решений подходит только $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x > 0$

Здесь мы ищем числа $t$, для которых $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(t) > 0$.

Решения уравнения $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ лежат в III и IV четвертях. Как мы нашли в пункте а), это серии $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Условие $\cos(t) > 0$ выполняется для углов в I и IV четвертях. Следовательно, мы должны выбрать решение, соответствующее IV четверти. Это серия $t = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$. Эту серию также можно записать в более компактном виде, используя отрицательный угол: $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Ответ: $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.