Номер 5.11, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.11, страница 15.

5.11 a) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, y > 0;$

Б) $x = -\frac{1}{2}, y < 0;$

В) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, y < 0;$

Г) $x = -\frac{1}{2}, y > 0.$

а)

По условию, мы ищем угол $\alpha$, такой что координаты точки на единичной окружности $x = \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y = \sin(\alpha) > 0$.

Из уравнения $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ мы знаем, что базовый угол, арккосинус этого значения, равен $\frac{\pi}{6}$.

Условия $x > 0$ и $y > 0$ соответствуют первой координатной четверти. В первой четверти угол $\alpha$ равен базовому углу.

Следовательно, $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Так как тригонометрические функции периодичны с периодом $2\pi$, общее решение для всех таких углов будет $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

По условию, мы ищем угол $\alpha$, для которого $x = \cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$ и $y = \sin(\alpha) < 0$.

Сначала найдем базовый угол (в первой четверти), косинус которого равен $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

Условия $x < 0$ (косинус отрицателен) и $y < 0$ (синус отрицателен) соответствуют третьей координатной четверти.

Для нахождения угла в третьей четверти к $\pi$ прибавляем базовый угол: $\alpha = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Общее решение: $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)

По условию, мы ищем угол $\alpha$, для которого $x = \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y = \sin(\alpha) < 0$.

Базовый угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, равен $\frac{\pi}{6}$.

Условия $x > 0$ (косинус положителен) и $y < 0$ (синус отрицателен) соответствуют четвертой координатной четверти.

Для нахождения угла в четвертой четверти мы можем вычесть базовый угол из $2\pi$ или просто взять его с отрицательным знаком: $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ или $\alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$. Оба значения представляют один и тот же угол.

Общее решение удобно записать как $\alpha = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)

По условию, мы ищем угол $\alpha$, для которого $x = \cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$ и $y = \sin(\alpha) > 0$.

Базовый угол для $\cos(\alpha_{ref}) = \frac{1}{2}$ равен $\frac{\pi}{3}$.

Условия $x < 0$ (косинус отрицателен) и $y > 0$ (синус положителен) соответствуют второй координатной четверти.

Для нахождения угла во второй четверти мы вычитаем базовый угол из $\pi$: $\alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Общее решение: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.