Номер 5.9, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.9, страница 15.

5.9 а) $x = 0$;

б) $x = -\frac{1}{2}$;

в) $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $x = -1$.

а) $x = 0$
Подразумевается, что необходимо найти значение $\arccos(x)$ для заданного значения $x$.
Арккосинус числа $a$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.
Нам нужно найти $\arccos(0)$. Это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = 0$.
Единственным значением на этом отрезке, удовлетворяющим условию, является $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б) $x = -\frac{1}{2}$
Нам нужно найти $\arccos(-\frac{1}{2})$.
Для отрицательного аргумента используется свойство арккосинуса: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
Применяя эту формулу, получаем: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$.
Мы знаем, что $\arccos(\frac{1}{2})$ — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.
Подставляем найденное значение:
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

в) $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Нам нужно найти $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Используем свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Мы знаем, что $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение:
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

г) $x = -1$
Нам нужно найти $\arccos(-1)$.
Мы ищем угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -1$.
Единственным значением на этом отрезке, удовлетворяющим условию, является $\alpha = \pi$.
Следовательно, $\arccos(-1) = \pi$.
Ответ: $\pi$