Номер 5.2, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.2, страница 14.

5.2 a) $M(2\pi)$;

б) $M\left(\frac{7\pi}{2}\right)$;

в) $M\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$;

г) $M(15\pi)$.

а) Чтобы найти положение точки $M(2\pi)$ на единичной окружности, мы должны от начальной точки $A(1, 0)$, соответствующей углу 0 радиан, отложить дугу длиной $2\pi$ в положительном направлении (против часовой стрелки). Длина всей единичной окружности равна $2\pi$. Следовательно, совершив полный оборот, мы вернемся в начальную точку. Таким образом, точка $M(2\pi)$ совпадает с точкой $M(0)$, которая имеет координаты $(1, 0)$. Эта точка лежит на положительной части оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: Точка $M(2\pi)$ совпадает с начальной точкой $(1, 0)$ и лежит на положительной части оси Ox.

б) Чтобы найти положение точки $M(\frac{7\pi}{2})$, представим угол $\frac{7\pi}{2}$ в виде суммы целого числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ - целое число) и угла $\alpha$ из промежутка $[0, 2\pi)$.
$\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.
Это означает, что точка $M(\frac{7\pi}{2})$ получается из начальной точки $A(1,0)$ путем одного полного оборота против часовой стрелки и последующего поворота на угол $\frac{3\pi}{2}$. Таким образом, положение точки $M(\frac{7\pi}{2})$ совпадает с положением точки $M(\frac{3\pi}{2})$. Точка $M(\frac{3\pi}{2})$ имеет координаты $(0, -1)$ и находится на отрицательной части оси ординат (оси Oy).
Ответ: Точка $M(\frac{7\pi}{2})$ имеет координаты $(0, -1)$ и лежит на отрицательной части оси Oy.

в) Чтобы найти положение точки $M(-\frac{3\pi}{2})$, мы должны от начальной точки $A(1, 0)$ отложить дугу длиной $\frac{3\pi}{2}$ в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Чтобы найти соответствующий положительный угол в стандартном диапазоне $[0, 2\pi)$, мы можем прибавить к данному углу полный оборот $2\pi$.
$-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = -\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, точка $M(-\frac{3\pi}{2})$ совпадает с точкой $M(\frac{\pi}{2})$. Точка $M(\frac{\pi}{2})$ имеет координаты $(0, 1)$ и находится на положительной части оси ординат (оси Oy).
Ответ: Точка $M(-\frac{3\pi}{2})$ имеет координаты $(0, 1)$ и лежит на положительной части оси Oy.

г) Чтобы найти положение точки $M(15\pi)$, представим угол $15\pi$ в виде $t = \alpha + 2\pi k$. Для этого вычтем из $15\pi$ максимально возможное целое число полных оборотов.
$15\pi = 14\pi + \pi = 7 \cdot 2\pi + \pi$.
Это означает, что мы совершаем 7 полных оборотов против часовой стрелки и дополнительно поворачиваем на угол $\pi$. Таким образом, положение точки $M(15\pi)$ совпадает с положением точки $M(\pi)$. Точка $M(\pi)$ имеет координаты $(-1, 0)$ и находится на отрицательной части оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: Точка $M(15\pi)$ имеет координаты $(-1, 0)$ и лежит на отрицательной части оси Ox.