Номер 5.1, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§5. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 5.1, страница 14.

Центр числовой окружности совпадает с началом координат на координатной плоскости $xOy$. Найдите декартовы координаты заданной точки:

5.1 a) $M\left(\frac{\pi}{4}\right)$;

б) $M\left(\frac{\pi}{3}\right)$;

в) $M\left(\frac{\pi}{6}\right)$;

г) $M\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

Для нахождения декартовых координат $(x, y)$ точки $M(t)$ на числовой окружности, центр которой совпадает с началом координат, используются формулы, связывающие декартовы координаты с углом $t$ (в радианах):
$x = \cos(t)$
$y = \sin(t)$

Подставим заданные значения $t$ в эти формулы для каждого случая.

а) $M(\frac{\pi}{4})$

Для точки $M(\frac{\pi}{4})$ имеем $t = \frac{\pi}{4}$. Вычислим ее декартовы координаты $(x, y)$:
$x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Следовательно, декартовы координаты точки M — это $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $M(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

б) $M(\frac{\pi}{3})$

Для точки $M(\frac{\pi}{3})$ имеем $t = \frac{\pi}{3}$. Вычислим ее декартовы координаты $(x, y)$:
$x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, декартовы координаты точки M — это $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $M(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

в) $M(\frac{\pi}{6})$

Для точки $M(\frac{\pi}{6})$ имеем $t = \frac{\pi}{6}$. Вычислим ее декартовы координаты $(x, y)$:
$x = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
Следовательно, декартовы координаты точки M — это $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $M(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$.

г) $M(\frac{\pi}{2})$

Для точки $M(\frac{\pi}{2})$ имеем $t = \frac{\pi}{2}$. Вычислим ее декартовы координаты $(x, y)$:
$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
Следовательно, декартовы координаты точки M — это $(0, 1)$.
Ответ: $M(0; 1)$.