Номер 4.16, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §4. Числовая окружность - номер 4.16, страница 13.

Условие.

4.16 Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует числу:

а) $1$;

б) $-5$;

в) $4,5$;

г) $-3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для определения положения точки на числовой окружности мы будем отталкиваться от начальной точки, соответствующей числу 0, которая расположена справа на горизонтальном диаметре. Положительные числа откладываются движением против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке. Длина дуги, которую мы проходим от начальной точки, равна модулю заданного числа. Для удобства будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

Ключевые точки на окружности (при движении против часовой стрелки):

• 0 – начальная точка.
• $\pi/2 \approx 1.57$ – конец первой четверти.
• $\pi \approx 3.14$ – конец второй четверти.
• $3\pi/2 \approx 4.71$ – конец третьей четверти.
• $2\pi \approx 6.28$ – конец четвертой четверти (полный оборот).

а) 1

Число 1 положительное, значит, мы движемся от начальной точки против часовой стрелки на дугу длиной 1. Сравним число 1 с границами первой четверти: $0 < 1 < \pi/2$, так как $1 < 1.57$. Следовательно, точка, соответствующая числу 1, находится в первой четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу 1, находится в первой четверти числовой окружности.

б) -5

Число -5 отрицательное, значит, мы движемся от начальной точки по часовой стрелке на дугу длиной 5. Чтобы определить положение точки, можно найти соответствующее ей положительное число, прибавив полный оборот $2\pi$. Положение точки на окружности при этом не изменится.

$-5 + 2\pi \approx -5 + 2 \times 3.14 = -5 + 6.28 = 1.28$.

Теперь найдем положение точки, соответствующей числу 1.28. Сравним это число с границами первой четверти: $0 < 1.28 < \pi/2$, так как $1.28 < 1.57$. Таким образом, точка, соответствующая числу -5, находится в первой четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу -5, находится в первой четверти числовой окружности.

в) 4,5

Число 4.5 положительное, поэтому мы движемся против часовой стрелки. Сравним это число с границами четвертей:

$\pi \approx 3.14$

$3\pi/2 \approx 4.71$

Поскольку выполняется неравенство $\pi < 4.5 < 3\pi/2$ (то есть $3.14 < 4.5 < 4.71$), точка прошла вторую четверть, но не достигла конца третьей. Следовательно, точка, соответствующая числу 4.5, находится в третьей четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу 4,5, находится в третьей четверти числовой окружности.

г) -3

Число -3 отрицательное, мы движемся по часовой стрелке на дугу длиной 3. Рассмотрим границы четвертей при движении в отрицательном направлении:

$-\pi/2 \approx -1.57$ (конец четвертой четверти)

$-\pi \approx -3.14$ (конец третьей четверти)

Так как выполняется неравенство $-\pi < -3 < -\pi/2$ (то есть $-3.14 < -3 < -1.57$), точка прошла по часовой стрелке дальше точки $-\pi/2$, но не достигла точки $-\pi$. Следовательно, она находится в третьей четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу -3, находится в третьей четверти числовой окружности.