Номер 4.16, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§4. Числовая окружность. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 4.16, страница 13.

4.16 Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует числу:

а) $1$;

б) $-5$;

в) $4,5$;

г) $-3$.

Для определения положения точки на числовой окружности мы будем отталкиваться от начальной точки, соответствующей числу 0, которая расположена справа на горизонтальном диаметре. Положительные числа откладываются движением против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке. Длина дуги, которую мы проходим от начальной точки, равна модулю заданного числа. Для удобства будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

Ключевые точки на окружности (при движении против часовой стрелки):

• 0 – начальная точка.
• $\pi/2 \approx 1.57$ – конец первой четверти.
• $\pi \approx 3.14$ – конец второй четверти.
• $3\pi/2 \approx 4.71$ – конец третьей четверти.
• $2\pi \approx 6.28$ – конец четвертой четверти (полный оборот).

а) 1

Число 1 положительное, значит, мы движемся от начальной точки против часовой стрелки на дугу длиной 1. Сравним число 1 с границами первой четверти: $0 < 1 < \pi/2$, так как $1 < 1.57$. Следовательно, точка, соответствующая числу 1, находится в первой четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу 1, находится в первой четверти числовой окружности.

б) -5

Число -5 отрицательное, значит, мы движемся от начальной точки по часовой стрелке на дугу длиной 5. Чтобы определить положение точки, можно найти соответствующее ей положительное число, прибавив полный оборот $2\pi$. Положение точки на окружности при этом не изменится.

$-5 + 2\pi \approx -5 + 2 \times 3.14 = -5 + 6.28 = 1.28$.

Теперь найдем положение точки, соответствующей числу 1.28. Сравним это число с границами первой четверти: $0 < 1.28 < \pi/2$, так как $1.28 < 1.57$. Таким образом, точка, соответствующая числу -5, находится в первой четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу -5, находится в первой четверти числовой окружности.

в) 4,5

Число 4.5 положительное, поэтому мы движемся против часовой стрелки. Сравним это число с границами четвертей:

$\pi \approx 3.14$

$3\pi/2 \approx 4.71$

Поскольку выполняется неравенство $\pi < 4.5 < 3\pi/2$ (то есть $3.14 < 4.5 < 4.71$), точка прошла вторую четверть, но не достигла конца третьей. Следовательно, точка, соответствующая числу 4.5, находится в третьей четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу 4,5, находится в третьей четверти числовой окружности.

г) -3

Число -3 отрицательное, мы движемся по часовой стрелке на дугу длиной 3. Рассмотрим границы четвертей при движении в отрицательном направлении:

$-\pi/2 \approx -1.57$ (конец четвертой четверти)

$-\pi \approx -3.14$ (конец третьей четверти)

Так как выполняется неравенство $-\pi < -3 < -\pi/2$ (то есть $-3.14 < -3 < -1.57$), точка прошла по часовой стрелке дальше точки $-\pi/2$, но не достигла точки $-\pi$. Следовательно, она находится в третьей четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу -3, находится в третьей четверти числовой окружности.