Номер 4.13, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §4. Числовая окружность - номер 4.13, страница 12.

Условие.

4.13 Запишите все числа, которым соответствует на числовой окружности точка:

а) $M_1 \left(\frac{\pi}{4}\right)$;

б) $M_2(5)$;

в) $M_3 \left(\frac{3\pi}{4}\right)$;

г) $M_4(-3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

На числовой окружности каждой точке соответствует бесконечное множество чисел. Это связано с тем, что движение по окружности является периодическим. Если точка $M$ на окружности соответствует числу $t$, то она также соответствует любому числу вида $t + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), так как $2\pi$ — это длина полной окружности (период).

а) Для точки $M_1\left(\frac{\pi}{4}\right)$ одно из соответствующих чисел равно $\frac{\pi}{4}$. Чтобы найти все остальные числа, нужно прибавить к этому значению целое число полных оборотов, то есть $2\pi k$.
Таким образом, все числа, которым соответствует точка $M_1$, описываются формулой: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для точки $M_2(5)$ одно из чисел равно $5$. По аналогии с предыдущим пунктом, все числа, соответствующие этой точке, находятся путем добавления целого числа полных оборотов.
Формула для всех чисел, соответствующих точке $M_2$, имеет вид: $5 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $5 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Для точки $M_3\left(\frac{3\pi}{4}\right)$ начальное значение равно $\frac{3\pi}{4}$. Все числа, соответствующие этой точке, образуют множество, которое можно описать общей формулой.
Все числа для точки $M_3$ задаются выражением: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для точки $M_4(-3)$ одно из чисел равно $-3$. Знак минус означает, что отсчет велся по часовой стрелке. Тем не менее, общая формула для нахождения всех чисел, соответствующих одной и той же точке, остается неизменной.
Все числа для точки $M_4$ описываются формулой: $-3 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-3 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.