Номер 4.14, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §4. Числовая окружность - номер 4.14, страница 13.

Условие.

4.14 Запишите одной формулой все числа, которым соответствуют на числовой окружности заданные точки (рис. 2):

а) A;

б) C;

в) A и C.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Точка A на числовой окружности обычно соответствует началу отсчета, то есть числу 0. Любая точка на числовой окружности повторяется через полный оборот, который равен $2\pi$ радиан. Следовательно, чтобы найти все числа, соответствующие точке A, нужно к начальному значению 0 прибавить целое число полных оборотов. Это можно выразить формулой:
$x = 0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
Упрощая выражение, получаем окончательную формулу для точки A:
$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Точка C на числовой окружности, как правило, диаметрально противоположна точке A. Это означает, что она соответствует повороту на половину окружности от начальной точки, то есть числу $\pi$. Аналогично пункту а), все остальные значения, соответствующие этой точке, получаются добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi$). Формула для всех чисел, соответствующих точке C, выглядит так:
$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Для того чтобы объединить все числа, соответствующие точкам A и C, в одну формулу, нужно заметить, что эти точки расположены на окружности через каждые пол-оборота, то есть через $\pi$ радиан.
Мы можем начать с точки A (значение 0) и прибавлять к ней целое число полуоборотов ($\pi k$).

• Если $k$ — четное число ($k=2n$), то $x = \pi \cdot (2n) = 2\pi n$. Это формула для точки A.
• Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$), то $x = \pi \cdot (2n+1) = \pi + 2\pi n$. Это формула для точки C.

Таким образом, формула $x = \pi k$ при всех целых $k$ описывает обе совокупности точек.
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.