Номер 4.11, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§4. Числовая окружность. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 4.11, страница 12.

4.11 а) $⅖π/4;$

б) $-&frac26;π/3;$

в) $-⅖π/6;$

г) $⅙π/3.$

а) Чтобы найти главный угол для $\frac{25\pi}{4}$, мы представляем его в виде суммы числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ - целое число) и угла в промежутке $[0, 2\pi)$.
Полный оборот равен $2\pi$. В нашем случае удобно представить $2\pi$ как $\frac{8\pi}{4}$.
Представим дробь $\frac{25}{4}$ в виде смешанного числа, выделив целую часть: $\frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$.
Тогда угол можно записать как $\frac{25\pi}{4} = (6 + \frac{1}{4})\pi = 6\pi + \frac{\pi}{4}$.
Так как $6\pi = 3 \cdot 2\pi$, это соответствует трём полным оборотам против часовой стрелки.
Следовательно, положение точки на единичной окружности для угла $\frac{25\pi}{4}$ совпадает с положением для угла $\frac{\pi}{4}$.
Запись в виде $\alpha = \alpha_0 + 2\pi k$ выглядит так: $\frac{25\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 3 \cdot 2\pi$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) Для отрицательного угла $-\frac{26\pi}{3}$ мы ищем эквивалентный ему угол в промежутке $[0, 2\pi)$, прибавляя целое число полных оборотов $2\pi$.
Полный оборот равен $2\pi = \frac{6\pi}{3}$.
Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы $-\frac{26\pi}{3} + k \cdot 2\pi$ было в интервале $[0, 2\pi)$.
Запишем неравенство: $0 \le -\frac{26\pi}{3} + k \cdot \frac{6\pi}{3} < 2\pi$. Разделив на $\pi$, получим $0 \le -\frac{26}{3} + 2k < 2$.
$\frac{26}{3} \le 2k < 2 + \frac{26}{3} \implies 8\frac{2}{3} \le 2k < 10\frac{2}{3} \implies 4\frac{1}{3} \le k < 5\frac{1}{3}$.
Единственное целое $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k=5$.
Прибавим $5 \cdot 2\pi = 10\pi = \frac{30\pi}{3}$ к исходному углу:
$-\frac{26\pi}{3} + \frac{30\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Этот угол находится в промежутке $[0, 2\pi)$.
Таким образом, $-\frac{26\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} - 5 \cdot 2\pi$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

в) Для угла $-\frac{25\pi}{6}$ найдем эквивалентный положительный угол, прибавляя полные обороты $2\pi$.
Полный оборот $2\pi = \frac{12\pi}{6}$.
Представим угол в виде смешанной дроби: $-\frac{25\pi}{6} = -(4\frac{1}{6})\pi = -4\pi - \frac{\pi}{6}$.
Выражение $-4\pi$ соответствует $-2 \cdot 2\pi$, то есть двум полным оборотам по часовой стрелке.
Таким образом, угол $-\frac{25\pi}{6}$ эквивалентен углу $-\frac{\pi}{6}$.
Чтобы получить угол в стандартном промежутке $[0, 2\pi)$, прибавим к $-\frac{\pi}{6}$ один полный оборот $2\pi$:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Таким образом, $-\frac{25\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} - 3 \cdot 2\pi$, где $k=-3$.
Ответ: $\frac{11\pi}{6}$.

г) Для угла $\frac{16\pi}{3}$ найдем главный угол, вычитая из него полные обороты $2\pi$.
Полный оборот $2\pi = \frac{6\pi}{3}$.
Представим дробь $\frac{16}{3}$ в виде смешанного числа: $\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$.
Тогда $\frac{16\pi}{3} = (5 + \frac{1}{3})\pi = 5\pi + \frac{\pi}{3}$.
Чтобы выделить число полных оборотов ($2\pi$), представим $5\pi$ как $4\pi + \pi$:
$5\pi + \frac{\pi}{3} = 4\pi + \pi + \frac{\pi}{3} = 4\pi + \frac{4\pi}{3}$.
$4\pi$ равно $2 \cdot 2\pi$, что соответствует двум полным оборотам.
Таким образом, положение точки на единичной окружности для угла $\frac{16\pi}{3}$ совпадает с положением для угла $\frac{4\pi}{3}$.
Запись в виде $\alpha = \alpha_0 + 2\pi k$: $\frac{16\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2 \cdot 2\pi$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.