Номер 4.4, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§4. Числовая окружность. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 4.4, страница 12.

4.4 Третья четверть разделена точкой P в отношении 1 : 5, считая от точки C. Чему равна длина дуги: CP, PD, AP?

Для решения задачи будем исходить из того, что рассматривается единичная окружность, на которой углы измеряются в радианах. Длина всей окружности составляет $2\pi$. Четверти отсчитываются против часовой стрелки от точки A, которая соответствует углу $0$ радиан.

Третья четверть находится между точкой C (конец второй четверти) и точкой D (конец третьей четверти).

• Угол, соответствующий точке C, равен $\pi$ радиан.
• Угол, соответствующий точке D, равен $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

Таким образом, длина дуги третьей четверти (дуги CD) равна разности этих углов:
Длина дуги $CD = \frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}$.

Согласно условию, точка P делит дугу CD в отношении $1:5$, считая от точки C. Это значит, что вся дуга, имеющая длину $\frac{\pi}{2}$, разделена на $1+5=6$ равных частей.

CP

Длина дуги CP составляет одну из шести частей дуги CD.
Длина дуги $CP = \frac{1}{1+5} \times (\text{длина дуги CD}) = \frac{1}{6} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12}$.
Ответ: $\frac{\pi}{12}$

PD

Длина дуги PD составляет пять из шести частей дуги CD.
Длина дуги $PD = \frac{5}{1+5} \times (\text{длина дуги CD}) = \frac{5}{6} \times \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12}$.
Для проверки можно сложить длины дуг: $CP + PD = \frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$, что совпадает с длиной дуги CD.
Ответ: $\frac{5\pi}{12}$

AP

Длина дуги AP измеряется от начальной точки A (угол $0$) до точки P. Чтобы найти эту длину, нужно сложить длину дуги от A до C и длину дуги от C до P.
Длина дуги AC (первая и вторая четверти) равна $\pi$.
Длина дуги $AP = (\text{длина дуги AC}) + (\text{длина дуги CP}) = \pi + \frac{\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$.
Ответ: $\frac{13\pi}{12}$