Номер 4.3, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§4. Числовая окружность. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 4.3, страница 12.

4.3 Первая четверть разделена точкой $M$ в отношении $2 : 3$, считая от точки $A$. Чему равна длина дуги: $AM, MB, DM, MC$?

Для решения задачи будем рассматривать единичную окружность, длина которой равна $2\pi$. Стандартные точки на ней A, B, C, D соответствуют углам 0, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$ радиан. Первая четверть — это дуга AB, соединяющая точки A и B. Ее длина составляет четверть от полной длины окружности:
Длина дуги AB = $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

AM
По условию, точка M делит дугу первой четверти AB в отношении $2:3$, считая от точки A. Это означает, что отношение длины дуги AM к длине дуги MB составляет $2:3$. Таким образом, всю дугу AB можно разделить на $2+3=5$ равных частей. Длина дуги AM составляет 2 из этих 5 частей.
Длина дуги AM = $\frac{2}{5} \times (\text{длина дуги AB}) = \frac{2}{5} \times \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $\frac{\pi}{5}$

MB
Длина дуги MB составляет 3 из 5 частей дуги AB.
Длина дуги MB = $\frac{3}{5} \times (\text{длина дуги AB}) = \frac{3}{5} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{10}$.
Проверим: Длина AM + Длина MB = $\frac{\pi}{5} + \frac{3\pi}{10} = \frac{2\pi}{10} + \frac{3\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$, что равно длине дуги AB.
Ответ: $\frac{3\pi}{10}$

DM
Для нахождения длины дуги DM определим положение точек D и M на окружности. Примем положение точки A за 0.
Положение точки D соответствует углу $\frac{3\pi}{2}$.
Положение точки M равно длине дуги AM, отсчитанной от точки A, то есть $\frac{\pi}{5}$.
Длина дуги DM (измеряемая против часовой стрелки) равна сумме длин дуг DA и AM. Дуга DA — это четвертая четверть, ее длина равна $\frac{\pi}{2}$.
Длина дуги DM = (длина дуги DA) + (длина дуги AM) = $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{10} + \frac{2\pi}{10} = \frac{7\pi}{10}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{10}$

MC
Положение точки M соответствует углу $\frac{\pi}{5}$, а положение точки C — углу $\pi$.
Длина дуги MC (измеряемая против часовой стрелки) равна разности их угловых координат:
Длина дуги MC = (положение C) - (положение M) = $\pi - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{5} - \frac{\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}$.
Этот результат можно также получить, сложив длины дуг MB и BC. Дуга BC — это вторая четверть, ее длина $\frac{\pi}{2}$.
Длина дуги MC = (длина дуги MB) + (длина дуги BC) = $\frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{10} + \frac{5\pi}{10} = \frac{8\pi}{10} = \frac{4\pi}{5}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{5}$