Номер 4.1, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§4. Числовая окружность. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 4.1, страница 11.

4.1 Вторая четверть разделена пополам точкой $M$, а третья четверть разделена на три равные части точками $K$ и $P$. Чему равна длина дуги: $AM$, $BK$, $MP$, $DC$, $KA$, $BP$, $CB$, $BC$?

Для решения этой задачи мы будем рассматривать единичную окружность, где длина дуги численно равна центральному углу, измеряемому в радианах. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Координатная плоскость делит окружность на четыре четверти, каждая из которых представляет собой дугу длиной $\frac{\pi}{2}$.

Примем стандартное расположение точек, ограничивающих четверти:

• Точка A: начало первой четверти, угол $0$ радиан.
• Точка B: конец первой и начало второй четверти, угол $\frac{\pi}{2}$ радиан.
• Точка C: конец второй и начало третьей четверти, угол $\pi$ радиан.
• Точка D: конец третьей и начало четвертой четверти, угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

Определение положения точек M, K и P

1. Вторая четверть — это дуга BC, её длина равна $\frac{\pi}{2}$. Точка M делит эту дугу пополам. Следовательно, дуги BM и MC равны, и их длина составляет $\frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$. Угловая координата точки M: $\text{угол B} + \text{дуга BM} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

2. Третья четверть — это дуга CD, её длина равна $\frac{\pi}{2}$. Точки K и P делят эту дугу на три равные части. Значит, дуги CK, KP и PD равны, и длина каждой из них составляет $\frac{\pi/2}{3} = \frac{\pi}{6}$. Предполагая, что точки идут в порядке C, K, P, D, найдем их координаты:

• Угловая координата точки K: $\text{угол C} + \text{дуга CK} = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
• Угловая координата точки P: $\text{угол K} + \text{дуга KP} = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$.

Расчет длин дуг

Длину дуги XY будем считать как длину пути от точки X до точки Y против часовой стрелки.

AM

Дуга AM начинается в точке A (угол $0$) и заканчивается в точке M (угол $\frac{3\pi}{4}$). Длина дуги вычисляется как разность угловых координат: $\frac{3\pi}{4} - 0 = \frac{3\pi}{4}$. Это также можно проверить, сложив длины дуг AB и BM: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

BK

Дуга BK начинается в точке B (угол $\frac{\pi}{2}$) и заканчивается в точке K (угол $\frac{7\pi}{6}$). Длина дуги: $\frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$. Это также сумма длин дуг BC и CK: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

MP

Дуга MP начинается в точке M (угол $\frac{3\pi}{4}$) и заканчивается в точке P (угол $\frac{4\pi}{3}$). Длина дуги: $\frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{16\pi}{12} - \frac{9\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$. Это также сумма длин дуг MC, CK и KP: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$

DC

Дуга DC начинается в точке D (угол $\frac{3\pi}{2}$) и заканчивается в точке C (угол $\pi$). Поскольку движение происходит против часовой стрелки, точка C находится на следующем обороте, её угол равен $\pi + 2\pi = 3\pi$. Длина дуги: $3\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$. Это сумма длин дуг DA (четвертая четверть), AB (первая четверть) и BC (вторая четверть): $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$

KA

Дуга KA начинается в точке K (угол $\frac{7\pi}{6}$) и заканчивается в точке A (угол $0$). Точка А находится на следующем обороте, её угол равен $2\pi$. Длина дуги: $2\pi - \frac{7\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} - \frac{7\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Это сумма длин дуг KD и DA: $(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

BP

Дуга BP начинается в точке B (угол $\frac{\pi}{2}$) и заканчивается в точке P (угол $\frac{4\pi}{3}$). Длина дуги: $\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{8\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Это сумма длин дуг BC и CP (которая равна CK + KP): $\frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

CB

Дуга CB начинается в точке C (угол $\pi$) и заканчивается в точке B (угол $\frac{\pi}{2}$). Точка B находится на следующем обороте, её угол равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Длина дуги: $\frac{5\pi}{2} - \pi = \frac{3\pi}{2}$. Это сумма длин дуг CD (третья четверть), DA (четвертая четверть) и AB (первая четверть): $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$

BC

Дуга BC начинается в точке B (угол $\frac{\pi}{2}$) и заканчивается в точке C (угол $\pi$). Длина дуги: $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. Это в точности длина второй четверти.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$