Номер 2.14, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.14, страница 9.

2.14 $y = \begin{cases} 2 & \text{если } -3 \le x \le 1 \\ \sqrt{x} + 1 & \text{если } 1 < x \le 4 \\ (x - 5)^2 + 2 & \text{если } 4 < x \le 6 \end{cases}$

Для решения данной задачи необходимо проанализировать каждый участок кусочно-заданной функции, на основе чего можно построить её график и найти основные свойства.

Функция задана в виде:

$y = \begin{cases} 2, & \text{если } -3 \le x \le 1 \\ \sqrt{x} + 1, & \text{если } 1 < x \le 4 \\ (x-5)^2 + 2, & \text{если } 4 < x \le 6 \end{cases}$

График на интервале $-3 \le x \le 1$

На этом участке функция является константой: $y = 2$. Её график — это горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки $(-3, 2)$ и $(1, 2)$. Обе точки включены в график (отмечаются закрашенными кружками), так как неравенства нестрогие.

График на интервале $1 < x \le 4$

Здесь функция задана формулой $y = \sqrt{x} + 1$. Это график функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы), смещённый на 1 единицу вверх. Вычислим значения на границах интервала:

• При $x \to 1$ (левая граница, не включается в интервал), значение функции стремится к $y = \sqrt{1} + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$ будет выколотой (пустой).
• При $x = 4$ (правая граница, включается в интервал), значение функции равно $y = \sqrt{4} + 1 = 3$. Точка $(4, 3)$ будет сплошной (закрашенной).

На этом интервале график — это плавно возрастающая кривая от выколотой точки $(1, 2)$ до сплошной точки $(4, 3)$.

График на интервале $4 < x \le 6$

На данном участке функция имеет вид $y = (x-5)^2 + 2$. Это парабола $y = x^2$, смещённая на 5 единиц вправо и на 2 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(5, 2)$. Вычислим значения на границах:

• При $x \to 4$ (левая граница, не включается), значение функции стремится к $y = (4-5)^2 + 2 = (-1)^2 + 2 = 3$. Точка $(4, 3)$ будет выколотой.
• При $x = 6$ (правая граница, включается), значение функции равно $y = (6-5)^2 + 2 = 1^2 + 2 = 3$. Точка $(6, 3)$ будет сплошной.

Вершина параболы $x=5$ принадлежит данному интервалу. Значение функции в вершине: $y(5) = (5-5)^2 + 2 = 2$. Это минимальное значение функции на данном участке. График представляет собой часть параболы, идущую от выколотой точки $(4, 3)$, вниз до вершины $(5, 2)$ и затем вверх до сплошной точки $(6, 3)$.

Теперь определим свойства функции.

Область определения функции

Область определения $D(y)$ — это объединение всех интервалов, на которых задана функция: $[-3, 1] \cup (1, 4] \cup (4, 6]$.

Ответ: $D(y) = [-3, 6]$.

Непрерывность функции

Функция непрерывна на каждом из трёх интервалов как элементарная функция. Проверим непрерывность в точках "стыка" $x=1$ и $x=4$.

• В точке $x=1$: значение функции $y(1)=2$. Предел слева $\lim_{x\to1^-}y(x)=\lim_{x\to1^-}2=2$. Предел справа $\lim_{x\to1^+}y(x)=\lim_{x\to1^+}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{1}+1=2$. Поскольку пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна в $x=1$.
• В точке $x=4$: значение функции $y(4)=\sqrt{4}+1=3$. Предел слева $\lim_{x\to4^-}y(x)=\lim_{x\to4^-}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{4}+1=3$. Предел справа $\lim_{x\to4^+}y(x)=\lim_{x\to4^+}((x-5)^2+2)=(4-5)^2+2=3$. Функция также непрерывна в $x=4$.

Таким образом, функция является непрерывной на всей своей области определения.

Область значений функции

Для нахождения области значений $E(y)$ проанализируем значения, которые принимает $y$ на каждом участке:

• На отрезке $[-3, 1]$: $y$ принимает единственное значение $2$.
• На полуинтервале $(1, 4]$: $y$ возрастает от $2$ (не включая) до $3$ (включая), то есть $y \in (2, 3]$.
• На полуинтервале $(4, 6]$: $y$ убывает от $3$ (не включая) до $2$ (включительно, в вершине при $x=5$), а затем возрастает до $3$ (включительно, при $x=6$). Значения покрывают отрезок $[2, 3]$.

Объединение всех этих множеств значений $\{2\} \cup (2, 3] \cup [2, 3]$ дает итоговую область значений.

Ответ: $E(y) = [2, 3]$.