Номер 3.2, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 1. Числовые функции. §3. Обратная функция - номер 3.2, страница 9.

Условие.

3.2 a) $y = \frac{x+1}{2x-3}$;

б) $y = \frac{4-3x}{1+x}$;

В) $y = \frac{3-2x}{5x+1}$;

Г) $y = \frac{2x-5}{1+2x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Рассматривается функция $y = \frac{x+1}{2x-3}$.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через переменную $y$. Для этого выполним следующие преобразования:

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2x - 3)$, предполагая, что он не равен нулю:

$y(2x - 3) = x + 1$

Раскроем скобки в левой части:

$2xy - 3y = x + 1$

Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$2xy - x = 3y + 1$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2y - 1) = 3y + 1$

Разделим обе части на $(2y - 1)$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{3y + 1}{2y - 1}$

Мы получили выражение $x$ через $y$. Чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, принято менять переменные местами: $x$ на $y$ и $y$ на $x$.

Таким образом, обратная функция имеет вид:

$y = \frac{3x + 1}{2x - 1}$

Ответ: $y = \frac{3x + 1}{2x - 1}$

б) Рассматривается функция $y = \frac{4-3x}{1+x}$.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через переменную $y$. Для этого выполним следующие преобразования:

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1+x)$, предполагая, что он не равен нулю:

$y(1 + x) = 4 - 3x$

Раскроем скобки в левой части:

$y + yx = 4 - 3x$

Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$yx + 3x = 4 - y$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(y + 3) = 4 - y$

Разделим обе части на $(y+3)$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{4 - y}{y + 3}$

Мы получили выражение $x$ через $y$. Чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, принято менять переменные местами: $x$ на $y$ и $y$ на $x$.

Таким образом, обратная функция имеет вид:

$y = \frac{4 - x}{x + 3}$

Ответ: $y = \frac{4 - x}{x + 3}$

в) Рассматривается функция $y = \frac{3-2x}{5x+1}$.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через переменную $y$. Для этого выполним следующие преобразования:

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(5x+1)$, предполагая, что он не равен нулю:

$y(5x + 1) = 3 - 2x$

Раскроем скобки в левой части:

$5xy + y = 3 - 2x$

Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$5xy + 2x = 3 - y$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(5y + 2) = 3 - y$

Разделим обе части на $(5y+2)$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{3 - y}{5y + 2}$

Мы получили выражение $x$ через $y$. Чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, принято менять переменные местами: $x$ на $y$ и $y$ на $x$.

Таким образом, обратная функция имеет вид:

$y = \frac{3 - x}{5x + 2}$

Ответ: $y = \frac{3 - x}{5x + 2}$

г) Рассматривается функция $y = \frac{2x-5}{1+2x}$.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через переменную $y$. Для этого выполним следующие преобразования:

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1+2x)$, предполагая, что он не равен нулю:

$y(1 + 2x) = 2x - 5$

Раскроем скобки в левой части:

$y + 2xy = 2x - 5$

Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$y + 5 = 2x - 2xy$

Вынесем $x$ за скобки в правой части:

$y + 5 = x(2 - 2y)$

Разделим обе части на $(2-2y)$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{y + 5}{2 - 2y}$

Мы получили выражение $x$ через $y$. Чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, принято менять переменные местами: $x$ на $y$ и $y$ на $x$.

Таким образом, обратная функция имеет вид:

$y = \frac{x + 5}{2 - 2x}$

Ответ: $y = \frac{x + 5}{2 - 2x}$