Номер 2.7, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.7, страница 8.

2.7 а) $y = \sqrt{-x^2 + 4x - 5}$;

б) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 4x + 1}{5}}$;

В) $y = \sqrt{-2x^2 + 8x + 9}$;

Г) $y = \sqrt{\frac{5}{2x^2 - 4x + 2}}$.

а) $y = \sqrt{-x^2 + 4x - 5}$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения:

$-x^2 + 4x - 5 \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства рассмотрим функцию $f(x) = -x^2 + 4x - 5$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1$).

Найдем нули функции, решив уравнение $-x^2 + 4x - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-1)(-5) = 16 - 20 = -4$

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс. Так как ветви параболы направлены вниз, она полностью расположена под осью абсцисс. Таким образом, выражение $-x^2 + 4x - 5$ всегда отрицательно для любого действительного значения $x$.

Следовательно, неравенство $-x^2 + 4x - 5 \ge 0$ не имеет решений.

Ответ: $D(y) = \varnothing$.

б) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 4x + 1}{5}}$

Область определения функции задается условием:

$\frac{x^2 - 4x + 1}{5} \ge 0$

Так как знаменатель 5 — положительное число, неравенство равносильно следующему:

$x^2 - 4x + 1 \ge 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 4x + 1$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 1 > 0$).

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Получаем два корня: $x_1 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{3}$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, квадратичный трехчлен $x^2 - 4x + 1$ принимает неотрицательные значения при $x \le x_1$ или $x \ge x_2$.

Таким образом, область определения функции — это объединение двух промежутков.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2 - \sqrt{3}] \cup [2 + \sqrt{3}; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{-2x^2 + 8x + 9}$

Область определения функции определяется условием:

$-2x^2 + 8x + 9 \ge 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = -2x^2 + 8x + 9$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -2 < 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $-2x^2 + 8x + 9 = 0$. Для удобства вычислений умножим уравнение на -1: $2x^2 - 8x - 9 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(2)(-9) = 64 + 72 = 136$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{136}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 34}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{34}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{34}}{2}$

Корни: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{34}}{2}$ и $x_2 = \frac{4 + \sqrt{34}}{2}$.

Так как ветви параболы $f(x) = -2x^2 + 8x + 9$ направлены вниз, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями, то есть при $x \in [x_1, x_2]$.

Ответ: $D(y) = [\frac{4 - \sqrt{34}}{2}; \frac{4 + \sqrt{34}}{2}]$.

г) $y = \sqrt{\frac{5}{2x^2 - 4x + 2}}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$\frac{5}{2x^2 - 4x + 2} \ge 0$

Так как числитель 5 — положительное число, для выполнения этого неравенства знаменатель также должен быть положительным (он не может быть равен нулю, так как находится в знаменателе).

$2x^2 - 4x + 2 > 0$

Решим это неравенство. Разделим обе части на 2:

$x^2 - 2x + 1 > 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x-1)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Выражение $(x-1)^2$ равно нулю только при $x-1=0$, то есть при $x=1$. Во всех остальных случаях $(x-1)^2$ строго больше нуля.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.