Номер 2.2, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.2, страница 7.

2.2 а) $y = 2x^3 - 3;$

б) $y = 7 - \frac{x^3}{2};$

в) $y = \frac{2}{3} - x^3;$

г) $y = 4 + x^3.$

Для нахождения производных данных функций будем использовать основные правила дифференцирования:

• Производная константы: $(C)' = 0$
• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$
• Правило вынесения константы за знак производной: $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$
• Производная суммы и разности: $(u \pm v)' = u' \pm v'$

а) Дана функция $y = 2x^3 - 3$.

Применяем правило нахождения производной разности, правило вынесения константы за знак производной и формулу производной степенной функции.

$y' = (2x^3 - 3)' = (2x^3)' - (3)' = 2 \cdot (x^3)' - 0 = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$.

Ответ: $y' = 6x^2$.

б) Дана функция $y = 7 - \frac{x^3}{2}$.

Представим функцию в виде $y = 7 - \frac{1}{2}x^3$ и применим те же правила дифференцирования.

$y' = (7 - \frac{1}{2}x^3)' = (7)' - (\frac{1}{2}x^3)' = 0 - \frac{1}{2} \cdot (x^3)' = -\frac{1}{2} \cdot 3x^{3-1} = -\frac{3}{2}x^2$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{2}x^2$.

в) Дана функция $y = \frac{2}{3} - x^3$.

Находим производную, применяя правила для разности, константы и степенной функции.

$y' = (\frac{2}{3} - x^3)' = (\frac{2}{3})' - (x^3)' = 0 - 3x^{3-1} = -3x^2$.

Ответ: $y' = -3x^2$.

г) Дана функция $y = 4 + x^3$.

Применяем правило нахождения производной суммы.

$y' = (4 + x^3)' = (4)' + (x^3)' = 0 + 3x^{3-1} = 3x^2$.

Ответ: $y' = 3x^2$.