Номер 1.15, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§1. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 1.15, страница 6.

1.15 Используя график функции $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$, постройте график функции:

а) $y = f(|x|)$;

б) $y = |f(x)|$;

в) $y = |f(|x|)|$;

г) $y = -|f(|x|)|$.

Для построения требуемых графиков сначала проанализируем и построим базовый график функции $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

1. Найдем вершину параболы. Координата $x_0$ вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
   Координата $y_0$ вершины: $y_0 = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.
2. Найдем точки пересечения с осями координат.
   С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения — $(0, 3)$.
   С осью $Ox$ (при $y=0$): $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Теперь, имея ключевые точки, мы можем построить графики для каждого из подпунктов.

а) $y = f(|x|)$

Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, необходимо:

1. Построить график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$.
2. Удалить часть графика для $x < 0$.
3. Отобразить часть графика для $x \ge 0$ симметрично относительно оси $Oy$.

Применяем это правило к нашему графику $y = x^2 - 4x + 3$:

1. Мы оставляем часть исходной параболы, которая находится в правой полуплоскости (где $x \ge 0$). Эта часть проходит через точки $(0, 3)$, $(1, 0)$, имеет вершину в $(2, -1)$ и проходит через $(3, 0)$.
2. Отображаем эту часть симметрично относительно оси $Oy$.
   • Точка $(0, 3)$ останется на месте.
   • Точка $(1, 0)$ отобразится в $(-1, 0)$.
   • Вершина $(2, -1)$ отобразится в точку $(-2, -1)$.
   • Точка $(3, 0)$ отобразится в $(-3, 0)$.

В результате получается график, симметричный относительно оси $Oy$, похожий на букву "W".

Ответ: График функции $y = f(|x|)$ симметричен относительно оси $Oy$. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y = x^2 - 4x + 3$. Он имеет две вершины в точках $(2, -1)$ и $(-2, -1)$ и пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 3)$.

б) $y = |f(x)|$

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, необходимо:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Часть графика, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $f(x) \ge 0$), оставить без изменений.
3. Часть графика, которая находится ниже оси $Ox$ (где $f(x) < 0$), отобразить симметрично относительно оси $Ox$.

Применяем это правило к нашему графику $y = x^2 - 4x + 3$:

1. Исходная парабола находится ниже оси $Ox$ на интервале между корнями, то есть при $x \in (1, 3)$.
2. Части параболы для $x \le 1$ и $x \ge 3$ остаются без изменений.
3. Часть параболы на интервале $(1, 3)$ симметрично отображается относительно оси $Ox$. В частности, вершина $(2, -1)$ переходит в точку $(2, 1)$.

Ответ: График функции $y = |f(x)|$ расположен полностью не ниже оси $Ox$. Он совпадает с исходной параболой при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$ и является отражением исходной параболы относительно оси $Ox$ при $x \in (1, 3)$. Вершина изначальной параболы $(2, -1)$ переходит в точку $(2, 1)$.

в) $y = |f(|x|)|$

Этот график можно получить, последовательно применив два предыдущих преобразования. Проще всего взять уже построенный график $y = f(|x|)$ из пункта а) и применить к нему преобразование модуля, как в пункте б).

1. Берем график из пункта а). Он имеет форму "W" с вершинами в $(2, -1)$ и $(-2, -1)$.
2. Части этого графика, находящиеся ниже оси $Ox$, — это участки между $x \in (-3, -1)$ и $x \in (1, 3)$.
3. Отображаем эти участки симметрично относительно оси $Ox$.
   • Вершина $(2, -1)$ переходит в точку $(2, 1)$.
   • Вершина $(-2, -1)$ переходит в точку $(-2, 1)$.

Весь график теперь будет находиться выше или на оси $Ox$.

Ответ: График функции $y = |f(|x|)|$ симметричен относительно оси $Oy$ и расположен не ниже оси $Ox$. Он имеет пики (локальные максимумы) в точках $(-2, 1)$, $(0, 3)$ и $(2, 1)$. Пересечения с осью $Ox$ (локальные минимумы) находятся в точках $(-3, 0), (-1, 0), (1, 0), (3, 0)$.

г) $y = -|f(|x|)|$

Чтобы построить этот график, нужно взять график из пункта в), то есть $y = |f(|x|)|$, и отобразить его симметрично относительно оси $Ox$.

1. Берем график $y = |f(|x|)|$, который мы построили в предыдущем пункте.
2. Знак "минус" перед всей функцией означает, что весь график нужно зеркально отразить относительно оси $Ox$.

В результате все точки с положительной координатой $y$ получат отрицательную координату $y$.

• Точка $(0, 3)$ перейдет в $(0, -3)$.
• Точки $(2, 1)$ и $(-2, 1)$ перейдут в $(2, -1)$ и $(-2, -1)$.
• Точки пересечения с осью $Ox$ останутся на месте: $(-3, 0), (-1, 0), (1, 0), (3, 0)$.

Получится перевернутая "W".

Ответ: График функции $y = -|f(|x|)|$ симметричен относительно оси $Oy$ и расположен не выше оси $Ox$. Он имеет локальные максимумы в точках $(-2, -1)$ и $(2, -1)$ и локальный минимум в точке $(0, -3)$.