Номер 1.16, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§1. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 1.16, страница 6.

1.16 Решите графически уравнение:

а) $x^3 = 3 - 2x$;

б) $\sqrt{x} = 2x - 6$;

в) $|x - 2| = \frac{3}{x}$;

г) $x^{-2} = 5x - 4$.

Для графического решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения этих графиков являются решениями (корнями) исходного уравнения.

а) $x^3 = 3 - 2x$

Решим это уравнение, построив графики двух функций: $y = x^3$ и $y = 3 - 2x$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат. Она возрастает на всей числовой оси. Построим ее по точкам: (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8).

2. График функции $y = 3 - 2x$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 3 - 2(0) = 3$. Точка (0, 3).
• при $x=1.5$, $y = 3 - 2(1.5) = 0$. Точка (1.5, 0).

Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим, что графики пересекаются в одной точке. По построению легко определить координаты этой точки — (1, 1). Абсцисса этой точки $x=1$ и является решением уравнения.

Проверка: $1^3 = 3 - 2(1) \implies 1 = 1$. Равенство верное.

Так как функция $y = x^3$ является строго возрастающей, а функция $y = 3 - 2x$ — строго убывающей, их графики могут пересечься не более чем в одной точке.

Ответ: $x=1$.

б) $\sqrt{x} = 2x - 6$

Решим это уравнение, построив графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения функции: $x \ge 0$. Построим ее по точкам: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).

2. График функции $y = 2x - 6$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=3$, $y = 2(3) - 6 = 0$. Точка (3, 0).
• при $x=4$, $y = 2(4) - 6 = 2$. Точка (4, 2).

Построим оба графика в одной системе координат. Графики пересекаются в одной точке с координатами (4, 2). Абсцисса этой точки $x=4$ является решением уравнения.

Проверка: $\sqrt{4} = 2(4) - 6 \implies 2 = 8 - 6 \implies 2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $x=4$.

в) $|x - 2| = \frac{3}{x}$

Решим это уравнение, построив графики двух функций: $y = |x - 2|$ и $y = \frac{3}{x}$.

1. График функции $y = |x - 2|$ — это график $y=|x|$, сдвинутый на 2 единицы вправо по оси Ox. "Вершина" графика находится в точке (2, 0).

2. График функции $y = \frac{3}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Область определения: $x \ne 0$.

Построим оба графика. Так как функция $y = |x - 2|$ всегда неотрицательна ($y \ge 0$), то точки пересечения могут существовать только там, где $y = \frac{3}{x}$ также неотрицательна, то есть при $x > 0$. Следовательно, нас интересует только ветвь гиперболы в первом квадранте.

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Построим по точкам:

• Для $y=|x-2|$: (0, 2), (1, 1), (2, 0), (3, 1).
• Для $y=\frac{3}{x}$: (1, 3), (3, 1).

Из точек видно, что общая точка — (3, 1). Абсцисса этой точки $x=3$ и есть решение.

Проверка: $|3 - 2| = \frac{3}{3} \implies |1| = 1 \implies 1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $x=3$.

г) $x^{-2} = 5x - 4$

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{x^2} = 5x - 4$. Решим его, построив графики функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = 5x - 4$.

1. График функции $y = \frac{1}{x^2}$ симметричен относительно оси Oy и его ветви находятся в первом и втором квадрантах. Функция всегда положительна. Асимптоты — оси координат. Построим по точкам: (-2, 1/4), (-1, 1), (1, 1), (2, 1/4), (0.5, 4).

2. График функции $y = 5x - 4$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=1$, $y = 5(1) - 4 = 1$. Точка (1, 1).
• при $x=0.8$, $y = 5(0.8) - 4 = 0$. Точка (0.8, 0).

Построим оба графика в одной системе координат. Так как $y=\frac{1}{x^2}$ всегда положительна, пересечения могут быть только там, где $y=5x-4$ положительна, то есть при $x > 0.8$.

Из построения видно, что графики пересекаются в одной точке (1, 1). Абсцисса этой точки $x=1$ является решением уравнения.

Проверка: $1^{-2} = 5(1) - 4 \implies \frac{1}{1^2} = 5 - 4 \implies 1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $x=1$.